В треугольнике A B C ABC угол C C прямой, A C = 3 , AC=3, B C = 4. BC=4. Найдите длину вектора A B → + C A → . AB + CA
Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом.
Дано:
В треугольнике \( ABC \):
- Угол \( C \) является прямым (то есть, \( C = 90^\circ \)).
- Длины сторон: \( AC = 3 \) и \( BC = 4 \).
Поскольку угол между сторонами \( AC \) и \( BC \) прямой, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны \( AB \):
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
Теперь подставим известные значения:
\[ AB^2 = 3^2 + 4^2 \] \[ AB^2 = 9 + 16 \] \[ AB^2 = 25 \]
Теперь найдем \( AB \):
\[ AB = \sqrt{25} = 5 \]
Теперь, нам нужно найти сумму векторов \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} \).
Для этого обозначим векторы в координатах. Предположим, что:
- Точка \( A \) находится в координатах \( (0, 0) \).
- Точка \( C \) находится в координатах \( (3, 0) \).
- Точка \( B \) находится в координатах \( (3, 4) \).
Посмотрим теперь на векторы:
\( \overrightarrow{AB} \) (из \( A \) в \( B \)):
- \( \overrightarrow{AB} = B - A = (3, 4) - (0, 0) = (3, 4) \).
\( \overrightarrow{CA} \) (из \( C \) в \( A \)):
- \( \overrightarrow{CA} = A - C = (0, 0) - (3, 0) = (-3, 0) \).
Теперь сложим эти векторы:
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = (3, 4) + (-3, 0) = (3 - 3, 4 + 0) = (0, 4) \]
Таким образом, сумма векторов \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} \) равна \( (0, 4) \).
Ответ: Длина вектора \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} \) равна \( 4 \) (так как длина вектора определяется по вертикальной координате \( (0, 4) \)).
