Упростите выражение cos2 a + tg2 a+cos2 a

Давайте упростим данное математическое выражение \( \cos^2 a + \tan^2 a + \cos^2 a \).

Шаг 1: Объединение подобных членов

Сначала заметим, что в выражении есть два одинаковых элемента, \( \cos^2 a \). Мы можем объединить их:

\[ \cos^2 a + \cos^2 a = 2\cos^2 a \]

Теперь наше выражение выглядит так:

\[ 2\cos^2 a + \tan^2 a \]

Шаг 2: Определение тангенса

Далее вспомним, что тангенс можно выразить через синус и косинус:

\[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \implies \tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \]

Шаг 3: Подстановка в выражение

Теперь подставим это значение в наше выражение:

\[ 2\cos^2 a + \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \]

Шаг 4: Найдем общий знаменатель

Чтобы сложить два члена, нам нужно найти общий знаменатель. Общий знаменатель здесь будет \( \cos^2 a \):

\[ 2\cos^2 a = \frac{2\cos^4 a}{\cos^2 a} \]

Теперь мы можем записать выражение так:

\[ \frac{2\cos^4 a + \sin^2 a}{\cos^2 a} \]

Шаг 5: Используем основное тригонометрическое тождество

Теперь вспомним основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \implies \sin^2 a = 1 - \cos^2 a \]

Подставим это в наше выражение:

\[ \frac{2\cos^4 a + (1 - \cos^2 a)}{\cos^2 a} \]

Шаг 6: Упрощение

Упрощаем числитель:

\[ 2\cos^4 a + 1 - \cos^2 a = 2\cos^4 a - \cos^2 a + 1 \]

Теперь можем записать полное выражение:

\[ \frac{2\cos^4 a - \cos^2 a + 1}{\cos^2 a} \]

Итог

Выражение \( \cos^2 a + \tan^2 a + \cos^2 a \) в упрощенном виде будет равно:

\[ \frac{2\cos^4 a - \cos^2 a + 1}{\cos^2 a} \]

Это упрощение включает разные шаги и основные тригонометрические идентичности. Если у вас есть вопросы по конкретным шагам, не стесняйтесь спрашивать!