Упростите выражение cos2 a + tg2 a+cos2 a

Давайте упростим данное математическое выражение \( \cos^2 a + \tan^2 a + \cos^2 a \). ### Шаг 1: Объединение подобных членов Сначала заметим, что в выражении есть два одинаковых элемента, \( \cos^2 a \). Мы можем объединить их: \[ \cos^2 a + \cos^2 a = 2\cos^2 a \] Теперь наше выражение выглядит так: \[ 2\cos^2 a + \tan^2 a \] ### Шаг 2: Определение тангенса Далее вспомним, что тангенс можно выразить через синус и косинус: \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \implies \tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \] ### Шаг 3: Подстановка в выражение Теперь подставим это значение в наше выражение: \[ 2\cos^2 a + \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \] ### Шаг 4: Найдем общий знаменатель Чтобы сложить два члена, нам нужно найти общий знаменатель. Общий знаменатель здесь будет \( \cos^2 a \): \[ 2\cos^2 a = \frac{2\cos^4 a}{\cos^2 a} \] Теперь мы можем записать выражение так: \[ \frac{2\cos^4 a + \sin^2 a}{\cos^2 a} \] ### Шаг 5: Используем основное тригонометрическое тождество Теперь вспомним основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \implies \sin^2 a = 1 - \cos^2 a \] Подставим это в наше выражение: \[ \frac{2\cos^4 a + (1 - \cos^2 a)}{\cos^2 a} \] ### Шаг 6: Упрощение Упрощаем числитель: \[ 2\cos^4 a + 1 - \cos^2 a = 2\cos^4 a - \cos^2 a + 1 \] Теперь можем записать полное выражение: \[ \frac{2\cos^4 a - \cos^2 a + 1}{\cos^2 a} \] ### Итог Выражение \( \cos^2 a + \tan^2 a + \cos^2 a \) в упрощенном виде будет равно: \[ \frac{2\cos^4 a - \cos^2 a + 1}{\cos^2 a} \] Это упрощение включает разные шаги и основные тригонометрические идентичности. Если у вас есть вопросы по конкретным шагам, не стесняйтесь спрашивать!