упростите выражение

Давайте упростим каждое из выражений:

111.

a) \(1 - \sin^2 t\)

Известно, что \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\), поэтому:

\[1 - \sin^2 t = \cos^2 t\]

Так что, выражение упрощается до \(\cos^2 t\).

b) \(1 - \cos^2 t\)

Тоже по основному тригонометрическому тождеству:

\[1 - \cos^2 t = \sin^2 t\]

Выражение упрощается до \(\sin^2 t\).

112.

a) \((1 - \sin t)(1 + \sin t)\)

Это произведение разности и суммы, что равно разности квадратов:

\[1^2 - \sin^2 t = 1 - \sin^2 t = \cos^2 t\]

Выражение упрощается до \(\cos^2 t\).

b) \((1 - \cos t)(1 + \cos t)\)

Аналогично:

\[1^2 - \cos^2 t = 1 - \cos^2 t = \sin^2 t\]

Выражение упрощается до \(\sin^2 t\).

113.

a) \(\frac{(\sin t + \cos t)^2}{1 + 2\sin t\cos t}\)

Сначала разложим числитель:

\((\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t\)

Так как \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\), это становится:

\[1 + 2\sin t \cos t\]

И полный дробь:

\[\frac{1 + 2\sin t\cos t}{1 + 2\sin t\cos t} = 1\]

b) \(\frac{1 - 2\sin t \cos t}{(\sin t - \cos t)^2}\)

Разложим знаменатель:

\((\sin t - \cos t)^2 = \sin^2 t - 2\sin t \cos t + \cos^2 t\)

Тоже будет:

\[1 - 2\sin t \cos t\]

Теперь полный дробь:

\[\frac{1 - 2\sin t \cos t}{1 - 2\sin t \cos t} = 1\]

Все выражения упрощаются до единицы: \(\boxed{1}\).