Давайте упростим каждое из выражений:
111.
a) (1 - \sin^2 t)
Известно, что (\sin^2 t + \cos^2 t = 1), поэтому:
[1 - \sin^2 t = \cos^2 t]
Так что, выражение упрощается до (\cos^2 t).
b) (1 - \cos^2 t)
Тоже по основному тригонометрическому тождеству:
[1 - \cos^2 t = \sin^2 t]
Выражение упрощается до (\sin^2 t).
112.
a) ((1 - \sin t)(1 + \sin t))
Это произведение разности и суммы, что равно разности квадратов:
[1^2 - \sin^2 t = 1 - \sin^2 t = \cos^2 t]
Выражение упрощается до (\cos^2 t).
b) ((1 - \cos t)(1 + \cos t))
Аналогично:
[1^2 - \cos^2 t = 1 - \cos^2 t = \sin^2 t]
Выражение упрощается до (\sin^2 t).
113.
a) (\frac{(\sin t + \cos t)^2}{1 + 2\sin t\cos t})
Сначала разложим числитель:
((\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t)
Так как (\sin^2 t + \cos^2 t = 1), это становится:
[1 + 2\sin t \cos t]
И полный дробь:
[\frac{1 + 2\sin t\cos t}{1 + 2\sin t\cos t} = 1]
b) (\frac{1 - 2\sin t \cos t}{(\sin t - \cos t)^2})
Разложим знаменатель:
((\sin t - \cos t)^2 = \sin^2 t - 2\sin t \cos t + \cos^2 t)
Тоже будет:
[1 - 2\sin t \cos t]
Теперь полный дробь:
[\frac{1 - 2\sin t \cos t}{1 - 2\sin t \cos t} = 1]
Все выражения упрощаются до единицы: (\boxed{1}).
