Упростите выражение

Чтобы упростить каждое из указанных выражений, давайте рассмотрим их по очереди и применим известные тригонометрические тождества. 1. **\( 1 - \cos^2 t \):** По основному тригонометрическому тождеству мы знаем, что: \[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \] Отсюда: \[ 1 - \cos^2 t = \sin^2 t \] Ответ: \(\sin^2 t\) 2. **\(\sin^2 t - 1\):** Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 t - 1 = -\cos^2 t \] Ответ: \(-\cos^2 t\) 3. **\((1 - \cos t)(1 + \cos t)\):** Это выражение представляет собой разность квадратов: \[ (1 - \cos t)(1 + \cos t) = 1^2 - (\cos t)^2 = 1 - \cos^2 t = \sin^2 t \] Ответ: \(\sin^2 t\) 4. **\(\sin^2 t + 2 \cos^2 t - 1\):** Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 t + 2\cos^2 t - 1 = (1 - \cos^2 t) + 2\cos^2 t - 1 = \cos^2 t \] Ответ: \(\cos^2 t\) 5. **\(\frac{1 - \frac{1}{\sin^2 t}}{\frac{1}{\sin^2 t}}\):** Сначала упростим выражение внутри: \[ 1 - \frac{1}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t - 1}{\sin^2 t} = \frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t} \] Теперь упрощаем дробь: \[ \frac{\frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t}}{\frac{1}{\sin^2 t}} = -\cos^2 t \] Ответ: \(-\cos^2 t\) 6. **\(\frac{1 - \cos t}{1 - \sin^2 t}\):** Заметим, что \[ 1 - \sin^2 t = \cos^2 t \] Теперь подставим это в выражение: \[ \frac{1 - \cos t}{\cos^2 t} \] Ответ: \(\frac{1 - \cos t}{\cos^2 t}\) 7. **\(1 - 2 \sin t \cos t\):** Используем тождество двойного угла: \[ \sin(2t) = 2 \sin t \cos t \] Поэтому: \[ 1 - 2 \sin t \cos t = 1 - \sin(2t) \] Ответ: \(1 - \sin(2t)\) Все эти шаги показывают, как можно использовать базовые тригонометрические тождества для упрощения данных выражений.