упростите выражение
Чтобы упростить каждое из указанных выражений, давайте рассмотрим их по очереди и применим известные тригонометрические тождества.
- \( 1 - \cos^2 t \):
По основному тригонометрическому тождеству мы знаем, что:
\[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \]
Отсюда:
\[ 1 - \cos^2 t = \sin^2 t \]
Ответ: \(\sin^2 t\)
- \(\sin^2 t - 1\):
Используем основное тригонометрическое тождество:
\[ \sin^2 t - 1 = -\cos^2 t \]
Ответ: \(-\cos^2 t\)
- \((1 - \cos t)(1 + \cos t)\):
Это выражение представляет собой разность квадратов:
\[ (1 - \cos t)(1 + \cos t) = 1^2 - (\cos t)^2 = 1 - \cos^2 t = \sin^2 t \]
Ответ: \(\sin^2 t\)
- \(\sin^2 t + 2 \cos^2 t - 1\):
Используем основное тригонометрическое тождество:
\[ \sin^2 t + 2\cos^2 t - 1 = (1 - \cos^2 t) + 2\cos^2 t - 1 = \cos^2 t \]
Ответ: \(\cos^2 t\)
- \(\frac{1 - \frac{1}{\sin^2 t}}{\frac{1}{\sin^2 t}}\):
Сначала упростим выражение внутри:
\[ 1 - \frac{1}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t - 1}{\sin^2 t} = \frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t} \]
Теперь упрощаем дробь:
\[ \frac{\frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t}}{\frac{1}{\sin^2 t}} = -\cos^2 t \]
Ответ: \(-\cos^2 t\)
- \(\frac{1 - \cos t}{1 - \sin^2 t}\):
Заметим, что
\[ 1 - \sin^2 t = \cos^2 t \]
Теперь подставим это в выражение:
\[ \frac{1 - \cos t}{\cos^2 t} \]
Ответ: \(\frac{1 - \cos t}{\cos^2 t}\)
- \(1 - 2 \sin t \cos t\):
Используем тождество двойного угла:
\[ \sin(2t) = 2 \sin t \cos t \]
Поэтому:
\[ 1 - 2 \sin t \cos t = 1 - \sin(2t) \]
Ответ: \(1 - \sin(2t)\)
Все эти шаги показывают, как можно использовать базовые тригонометрические тождества для упрощения данных выражений.
