Синус(5п/2+а)+косинус(п/2+а

Давайте решим задачу, связанную с тригонометрическими функциями: \( \sin\left(\frac{5\pi}{2} + a\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right) \).

Шаг 1: Упрощение выражения

1. Упрощение синуса: Мы знаем, что тригонометрические функции периодичны. Основной период для синуса и косинуса равен \( 2\pi \). Поэтому мы можем уменьшить аргумент синуса: \[ \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} \] Таким образом: \[ \sin\left(\frac{5\pi}{2} + a\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2} + a\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + a\right) \] Используя свойство синуса \( \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \), мы можем записать: \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + a\right) = \cos a \]

2. Упрощение косинуса: Аналогично упростим косинус: \[ \cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right) = -\sin a \] Это также связано с тригонометрическими свойствами, где \( \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x \).

Шаг 2: Подстановка упрощенных выражений

Теперь мы можем подставить упрощенные выражения обратно в наше уравнение: \[ \sin\left(\frac{5\pi}{2} + a\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right) = \cos a - \sin a \]

Шаг 3: Итоговое выражение

Таким образом, мы получаем окончательный результат: \[ \sin\left(\frac{5\pi}{2} + a\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right) = \cos a - \sin a \]

Заключение

Мы упростили исходное выражение, используя свойства тригонометрических функций, и представили его в наиболее простой форме. Если есть дополнительная информация или нужно подробнее остановиться на каком-то этапе, дайте знать!