Для решения задачи о нахождении стороны ( AC ) в треугольнике ( ABC ) с данными сторонами ( AB = 6 ) см, ( BC = 3\sqrt{2} ) см и углом ( B = 45^\circ ), мы можем использовать теорему косинусов.
Шаг 1: Запись теоремы косинусов
Теорема косинусов гласит, что в любом треугольнике:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
]
где:
- ( c ) — сторона, противолежащая углу ( C ),
- ( a ) и ( b ) — остальные стороны,
- ( C ) — угол между сторонами ( a ) и ( b ).
Шаг 2: Определение сторон и угла
В нашем случае:
- ( a = AB = 6 ) см,
- ( b = BC = 3\sqrt{2} ) см,
- ( C = \angle B = 45^\circ ),
- ( c = AC ), которое нужно найти.
Шаг 3: Подставляем значения в теорему косинусов
Подставим известные значения в формулу:
[
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(B)
]
Шаг 4: Вычисляем ( AB^2 ) и ( BC^2 )
[
AB^2 = 6^2 = 36,
]
[
BC^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18.
]
Шаг 5: Вычисляем ( \cos(45^\circ) )
[
\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}.
]
Шаг 6: Подставляем все в уравнение
Теперь подставляем все в уравнение:
[
AC^2 = 36 + 18 - 2 \cdot 6 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.
]
Шаг 7: Упрощаем выражение
Упростим последнее выражение:
[
AC^2 = 36 + 18 - 2 \cdot 6 \cdot 3\frac{2}{2} = 36 + 18 - 6 \cdot 3 = 36 + 18 - 18 = 36.
]
Шаг 8: Находим ( AC )
Теперь найдём ( AC ):
[
AC^2 = 36 \implies AC = \sqrt{36} = 6 \text{ см}.
]
Ответ
Сторона ( AC ) равна ( 6 ) см.
