Найдите наименьшее значение функции на отрезке [6;8]
Давайте найдем наименьшее значение функции \( y = (x - 8)e^{x - 7} \) на отрезке \([6; 8]\).
Шаг 1: Найдите производную функции
Функция задана как \( y = (x - 8)e^{x - 7} \). Здесь мы имеем произведение двух функций: \( u(x) = x - 8 \) и \( v(x) = e^{x - 7} \). Применим правило произведения для нахождения производной:
\[ y' = u'v + uv' \]
где \( u' = 1 \), \( v = e^{x-7} \), \( v' = e^{x-7} \).
Подставляя в формулу, получаем:
\[ y' = 1 \cdot e^{x-7} + (x-8)e^{x-7} = e^{x-7} + (x-8)e^{x-7} \]
Объединяем:
\[ y' = e^{x-7} (1 + x - 8) = e^{x-7} (x - 7) \]
Шаг 2: Найдите критические точки
Производная \( y' = e^{x-7} (x - 7) \) равна нулю, когда \( x - 7 = 0 \). Решая это уравнение, находим:
\[ x = 7 \]
Шаг 3: Вычислите значения функции в критических точках и на концах отрезка
Проверим значения функции в точках \( x = 6 \), \( x = 7 \), и \( x = 8 \).
- Для \( x = 6 \):
\[ y = (6 - 8)e^{6 - 7} = -2e^{-1} \approx -0.7358 \]
- Для \( x = 7 \):
\[ y = (7 - 8)e^{7 - 7} = -1 \cdot e^{0} = -1 \]
- Для \( x = 8 \):
\[ y = (8 - 8)e^{8 - 7} = 0 \cdot e^{1} = 0 \]
Шаг 4: Выберите наименьшее значение
Сравнивая значения на концах отрезка и в критической точке, наименьшее значение равно \( -1 \) и достигается при \( x = 7 \).
Ответ
Наименьшее значение функции на отрезке \([6; 8]\) равно \(-1\).
