Давайте найдем наименьшее значение функции ( y = (x - 8)e^{x - 7} ) на отрезке ([6; 8]).
Шаг 1: Найдите производную функции
Функция задана как ( y = (x - 8)e^{x - 7} ). Здесь мы имеем произведение двух функций: ( u(x) = x - 8 ) и ( v(x) = e^{x - 7} ). Применим правило произведения для нахождения производной:
[
y' = u'v + uv'
]
где
( u' = 1 ),
( v = e^{x-7} ),
( v' = e^{x-7} ).
Подставляя в формулу, получаем:
[
y' = 1 \cdot e^{x-7} + (x-8)e^{x-7} = e^{x-7} + (x-8)e^{x-7}
]
Объединяем:
[
y' = e^{x-7} (1 + x - 8) = e^{x-7} (x - 7)
]
Шаг 2: Найдите критические точки
Производная ( y' = e^{x-7} (x - 7) ) равна нулю, когда ( x - 7 = 0 ). Решая это уравнение, находим:
[
x = 7
]
Шаг 3: Вычислите значения функции в критических точках и на концах отрезка
Проверим значения функции в точках ( x = 6 ), ( x = 7 ), и ( x = 8 ).
- Для ( x = 6 ):
[
y = (6 - 8)e^{6 - 7} = -2e^{-1} \approx -0.7358
]
- Для ( x = 7 ):
[
y = (7 - 8)e^{7 - 7} = -1 \cdot e^{0} = -1
]
- Для ( x = 8 ):
[
y = (8 - 8)e^{8 - 7} = 0 \cdot e^{1} = 0
]
Шаг 4: Выберите наименьшее значение
Сравнивая значения на концах отрезка и в критической точке, наименьшее значение равно ( -1 ) и достигается при ( x = 7 ).
Ответ
Наименьшее значение функции на отрезке ([6; 8]) равно (-1).
