Найдите общий вид первообразных функции f(x)=x +3x +2x+5.
Чтобы найти общий вид первообразных функции \( f(x) = x + 3x + 2x + 5 \), начнем с упрощения самой функции.
Шаг 1: Упрощение функции
Сначала объединим подобные члены:
\[ f(x) = (1x + 3x + 2x) + 5 = 6x + 5 \]
Шаг 2: Нахождение первообразной
Теперь мы найдем первообразную \( F(x) \) функции \( f(x) = 6x + 5 \). Для этого воспользуемся правилами интегрирования:
\[ F(x) = \int (6x + 5) \, dx \]
Разделим integral на два члена:
\[ F(x) = \int 6x \, dx + \int 5 \, dx \]
Теперь найдем интегралы каждого из членов отдельно.
Интеграл от \( 6x \): \[ \int 6x \, dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} = 3x^2 \]
Интеграл от \( 5 \): \[ \int 5 \, dx = 5x \]
Шаг 3: Объединение результатов
Теперь объединим результаты наших интегралов:
\[ F(x) = 3x^2 + 5x + C \]
Где \( C \) — произвольная константа интегрирования, так как первообразная не является единственной.
Итог
Таким образом, общий вид первообразной функции \( f(x) = x + 3x + 2x + 5 \) равен:
\[ F(x) = 3x^2 + 5x + C \]
где \( C \) — произвольная константа. Это значит, что существует бесконечно много первообразных функции, и все они различаются только на величину константы \( C \).
