Чтобы найти общий вид первообразных функции ( f(x) = x + 3x + 2x + 5 ), начнем с упрощения самой функции.
Шаг 1: Упрощение функции
Сначала объединим подобные члены:
[
f(x) = (1x + 3x + 2x) + 5 = 6x + 5
]
Шаг 2: Нахождение первообразной
Теперь мы найдем первообразную ( F(x) ) функции ( f(x) = 6x + 5 ). Для этого воспользуемся правилами интегрирования:
[
F(x) = \int (6x + 5) , dx
]
Разделим integral на два члена:
[
F(x) = \int 6x , dx + \int 5 , dx
]
Теперь найдем интегралы каждого из членов отдельно.
Интеграл от ( 6x ):
[
\int 6x , dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} = 3x^2
]
Интеграл от ( 5 ):
[
\int 5 , dx = 5x
]
Шаг 3: Объединение результатов
Теперь объединим результаты наших интегралов:
[
F(x) = 3x^2 + 5x + C
]
Где ( C ) — произвольная константа интегрирования, так как первообразная не является единственной.
Итог
Таким образом, общий вид первообразной функции ( f(x) = x + 3x + 2x + 5 ) равен:
[
F(x) = 3x^2 + 5x + C
]
где ( C ) — произвольная константа. Это значит, что существует бесконечно много первообразных функции, и все они различаются только на величину константы ( C ).
