1050/564 - 750/846 + 1950/2820

Чтобы решить задачу \( \frac{1050}{564} - \frac{750}{846} + \frac{1950}{2820} \), давайте разберёмся с каждым шагом по порядку. ### Шаг 1: Упростить дроби Прежде всего, можно попытаться упростить каждую дробь, если это возможно, чтобы облегчить вычисления. 1. **Упрощение \( \frac{1050}{564} \)**: - Найдём наибольший общий делитель (НОД) 1050 и 564. - Разложим 1050 и 564 на множители: - \( 1050 = 2 \times 3 \times 5^2 \times 7 \) - \( 564 = 2^2 \times 3 \times 47 \) - НОД(1050, 564) = \( 2 \times 3 = 6 \). - Упрощаем: \( \frac{1050 \div 6}{564 \div 6} = \frac{175}{94} \). 2. **Упрощение \( \frac{750}{846} \)**: - Найдём НОД(750, 846): - \( 750 = 2 \times 3 \times 5^3 \) - \( 846 = 2 \times 3 \times 141 = 2 \times 3 \times 3 \times 47 \) (141 можно разложить). - НОД(750, 846) = \( 2 \times 3 = 6 \). - Упрощаем: \( \frac{750 \div 6}{846 \div 6} = \frac{125}{141} \). 3. **Упрощение \( \frac{1950}{2820} \)**: - Найдём НОД(1950, 2820): - \( 1950 = 2 \times 3 \times 5^2 \times 13 \) - \( 2820 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 47 \) - НОД(1950, 2820) = \( 2 \times 3 \times 5 = 30 \). - Упрощаем: \( \frac{1950 \div 30}{2820 \div 30} = \frac{65}{94} \). ### Шаг 2: Подстановка в исходное выражение Теперь подставим упрощённые дроби в выражение: \[ \frac{175}{94} - \frac{125}{141} + \frac{65}{94} \] ### Шаг 3: Приведение к общему знаменателю Чтобы выполнить вычитание и сложение дробей, необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменатели \( 94 \) и \( 141 \) имеют НОД – это просто произведение, поскольку \( 94 \) и \( 141 \) не имеют общих простых множителей: - Знаменатель = \( 94 \times 141 = 13254 \). Теперь приведём дроби к общему знаменателю: 1. Для \( \frac{175}{94} \): \[ \frac{175 \times 141}{94 \times 141} = \frac{24675}{13254} \] 2. Для \( \frac{125}{141} \): \[ \frac{125 \times 94}{141 \times 94} = \frac{11750}{13254} \] 3. Для \( \frac{65}{94} \): \[ \frac{65 \times 141}{94 \times 141} = \frac{9165}{13254} \] ### Шаг 4: Сложение и вычитание дробей Теперь можем подставить найденные дроби в выражение: \[ \frac{24675}{13254} - \frac{11750}{13254} + \frac{9165}{13254} \] Складываем и вычитаем числители, так как знаменатели одинаковые: \[ \frac{24675 - 11750 + 9165}{13254} = \frac{24675 - 11750 + 9165}{13254} \] Вычитаем: \[ 24675 - 11750 = 12925 \] Теперь добавляем \( 9165 \): \[ 12925 + 9165 = 22190 \] Таким образом, получаем: \[ \frac{22190}{13254} \] ### Шаг 5: Упрощение результата Теперь упростим результат, найдя НОД(22190, 13254). Для этого разложим на множители: - Можно использовать алгоритм Евклида или просто больше делить обе части. Вычисляем, что НОД = 2. - Упрощаем: \[ \frac{22190 \div 2}{13254 \div 2} = \frac{11095}{6627} \] Это окончательный ответ: \[ \frac{11095}{6627} \] ### Ответ Таким образом, конечный результат выражения: \[ \frac{11095}{6627} \]