1050/564 - 750/846 + 1950/2820

Чтобы решить задачу \( \frac{1050}{564} - \frac{750}{846} + \frac{1950}{2820} \), давайте разберёмся с каждым шагом по порядку.

Шаг 1: Упростить дроби

Прежде всего, можно попытаться упростить каждую дробь, если это возможно, чтобы облегчить вычисления.

1. Упрощение \( \frac{1050}{564} \):

   • Найдём наибольший общий делитель (НОД) 1050 и 564.
   • Разложим 1050 и 564 на множители:
     • \( 1050 = 2 \times 3 \times 5^2 \times 7 \)
     • \( 564 = 2^2 \times 3 \times 47 \)
   • НОД(1050, 564) = \( 2 \times 3 = 6 \).
   • Упрощаем: \( \frac{1050 \div 6}{564 \div 6} = \frac{175}{94} \).

2. Упрощение \( \frac{750}{846} \):

   • Найдём НОД(750, 846):
     • \( 750 = 2 \times 3 \times 5^3 \)
     • \( 846 = 2 \times 3 \times 141 = 2 \times 3 \times 3 \times 47 \) (141 можно разложить).
   • НОД(750, 846) = \( 2 \times 3 = 6 \).
   • Упрощаем: \( \frac{750 \div 6}{846 \div 6} = \frac{125}{141} \).

3. Упрощение \( \frac{1950}{2820} \):

   • Найдём НОД(1950, 2820):
     • \( 1950 = 2 \times 3 \times 5^2 \times 13 \)
     • \( 2820 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 47 \)
   • НОД(1950, 2820) = \( 2 \times 3 \times 5 = 30 \).
   • Упрощаем: \( \frac{1950 \div 30}{2820 \div 30} = \frac{65}{94} \).

Шаг 2: Подстановка в исходное выражение

Теперь подставим упрощённые дроби в выражение:

\[ \frac{175}{94} - \frac{125}{141} + \frac{65}{94} \]

Шаг 3: Приведение к общему знаменателю

Чтобы выполнить вычитание и сложение дробей, необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменатели \( 94 \) и \( 141 \) имеют НОД – это просто произведение, поскольку \( 94 \) и \( 141 \) не имеют общих простых множителей:

• Знаменатель = \( 94 \times 141 = 13254 \).

Теперь приведём дроби к общему знаменателю:

1. Для \( \frac{175}{94} \): \[ \frac{175 \times 141}{94 \times 141} = \frac{24675}{13254} \]

2. Для \( \frac{125}{141} \): \[ \frac{125 \times 94}{141 \times 94} = \frac{11750}{13254} \]

3. Для \( \frac{65}{94} \): \[ \frac{65 \times 141}{94 \times 141} = \frac{9165}{13254} \]

Шаг 4: Сложение и вычитание дробей

Теперь можем подставить найденные дроби в выражение:

\[ \frac{24675}{13254} - \frac{11750}{13254} + \frac{9165}{13254} \]

Складываем и вычитаем числители, так как знаменатели одинаковые:

\[ \frac{24675 - 11750 + 9165}{13254} = \frac{24675 - 11750 + 9165}{13254} \]

Вычитаем:

\[ 24675 - 11750 = 12925 \] Теперь добавляем \( 9165 \):

\[ 12925 + 9165 = 22190 \]

Таким образом, получаем:

\[ \frac{22190}{13254} \]

Шаг 5: Упрощение результата

Теперь упростим результат, найдя НОД(22190, 13254). Для этого разложим на множители:

• Можно использовать алгоритм Евклида или просто больше делить обе части. Вычисляем, что НОД = 2.
• Упрощаем:

\[ \frac{22190 \div 2}{13254 \div 2} = \frac{11095}{6627} \]

Это окончательный ответ:

\[ \frac{11095}{6627} \]

Ответ

Таким образом, конечный результат выражения:

\[ \frac{11095}{6627} \]