Дано : А(-3; 1); В(1;-2) С(-1;0) Найти: 1)координаты векторов АВ и АС 2)модули АВ и АС 3)координаты МК=2АВ-3АС 4)Скалярное произведение АВ и АС 5)косинус угла между АВ и АС
Давайте решим задачу по геометрии, связанную с векторами. Мы будем шаг за шагом проходить каждый пункт.
1) Найти координаты векторов АВ и АС
Вектор можно найти, используя формулу:
\[ \vec{AB} = B - A = (x_B - x_A; y_B - y_A) \] \[ \vec{AC} = C - A = (x_C - x_A; y_C - y_A) \]
Подставим координаты точек:
- Точка A(-3; 1)
- Точка B(1; -2)
- Точка C(-1; 0)
Для вектора АВ: \[ \vec{AB} = (1 - (-3); -2 - 1) = (1 + 3; -2 - 1) = (4; -3) \]
Для вектора АС: \[ \vec{AC} = (-1 - (-3); 0 - 1) = (-1 + 3; 0 - 1) = (2; -1) \]
Таким образом, координаты векторов:
- АВ = (4; -3)
- АС = (2; -1)
2) Найти модули АВ и АС
Модуль вектора можно найти по формуле:
\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(x)^2 + (y)^2} \]
Найдём модуль для АВ: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]
Найдём модуль для АС: \[ |\vec{AC}| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]
Таким образом, модuli векторов:
- Модуль АВ = 5
- Модуль АС = \( \sqrt{5} \)
3) Найти координаты МК = 2АВ - 3АС
Сначала вычислим \( 2\vec{AB} \) и \( 3\vec{AC} \):
Для \( 2\vec{AB} \): \[ 2\vec{AB} = 2(4; -3) = (8; -6) \]
Для \( 3\vec{AC} \): \[ 3\vec{AC} = 3(2; -1) = (6; -3) \]
Теперь вычтем \( 3\vec{AC} \) из \( 2\vec{AB} \): \[ \vec{MK} = 2\vec{AB} - 3\vec{AC} = (8; -6) - (6; -3) = (8 - 6; -6 + 3) = (2; -3) \]
Таким образом, координаты точки МК = (2; -3).
4) Найти скалярное произведение АВ и АС
Скалярное произведение векторов можно найти по формуле:
\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 \]
Подставим координаты векторов АВ и АС:
\[ \vec{AB} = (4; -3), \quad \vec{AC} = (2; -1) \]
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) = 8 + 3 = 11 \]
Скалярное произведение АВ и АС равно 11.
5) Найти косинус угла между АВ и АС
Используем формулу для нахождения косинуса угла между векторами:
\[ \cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} \]
Учитывая, что:
- \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 11 \)
- \( |\vec{AB}| = 5 \)
- \( |\vec{AC}| = \sqrt{5} \)
Подставим значения:
\[ \cos \theta = \frac{11}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{11}{5 \sqrt{5}} \]
Таким образом, косинус угла между векторами АВ и АС равен \( \frac{11}{5 \sqrt{5}} \).
Теперь вы понимаете, как решать задачу по каждому пункту. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или трудности, не стесняйтесь задавать!
