реши уравнение 2х⁴+6х²-8=0 и покажи как записать
Чтобы решить уравнение \(2x^4 + 6x^2 - 8 = 0\), давайте сначала упростим его и найдем необходимое решение.
Шаг 1: Упростим уравнение
Мы можем поделить все члены уравнения на 2, чтобы облегчить вычисления:
\[ x^4 + 3x^2 - 4 = 0 \]
Шаг 2: Применим замену переменной
Уравнение имеет степень 4, но мы можем использовать замену переменной. Обозначим \(y = x^2\). Тогда наше уравнение преобразуется в:
\[ y^2 + 3y - 4 = 0 \]
Шаг 3: Решим квадратное уравнение
Теперь мы имеем квадратное уравнение, и его можно решить с помощью формулы квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 1\), \(b = 3\), и \(c = -4\). Подставим значения:
- Вычислим дискриминант \(D = b^2 - 4ac\):
\[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]
- Теперь, подставим в формулу:
\[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5}{2} \]
Это дает два значения для \(y\):
- \(y_1 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
- \(y_2 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4\)
Шаг 4: Вернемся к переменной \(x\)
Теперь, когда мы нашли значения \(y\), которые равны \(x^2\), вернемся к \(x\):
\(y_1 = 1\): \[ x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \]
\(y_2 = -4\): \[ x^2 = -4 \] Поскольку у квадратного корня отрицательное значение, получаем комплексные корни: \[ x = \pm 2i \]
Шаг 5: Запишем решения
Таким образом, у нас есть четыре решения:
- \(x_1 = 1\)
- \(x_2 = -1\)
- \(x_3 = 2i\)
- \(x_4 = -2i\)
Итог
Решение уравнения \(2x^4 + 6x^2 - 8 = 0\) в числовом виде:
\[ x = 1, \quad x = -1, \quad x = 2i, \quad x = -2i \]
Таким образом, мы пришли к окончательным корням уравнения, включая как действительные, так и комплексные решения.
