Для решения этой задачи воспользуемся формулой, связывающей скорость, путь и время:
[
\text{Скорость} = \frac{\text{Путь}}{\text{Время}}
]
Дано:
- Путь по течению (с учетом скорости течения): (84 , \text{км})
- Путь против течения: (55 , \text{км})
- Время в пути: (10 , \text{ч})
- Скорость течения реки: (5 , \text{км/ч})
Обозначим собственную скорость баржи как (v) км/ч.
1. По течению
Когда баржа движется по течению, ее скорость равна:
[
v + 5 , \text{км/ч}
]
Путь, который она прошла по течению, равен (84 , \text{км}), следовательно, время, потраченное на этот путь, можно выразить как:
[
t_1 = \frac{84}{v + 5}
]
2. Против течения
Когда баржа движется против течения, ее скорость равна:
[
v - 5 , \text{км/ч}
]
Путь, который она прошла против течения, равен (55 , \text{км}), тогда время, потраченное на этот путь, будет:
[
t_2 = \frac{55}{v - 5}
]
3. Полное время в пути
Согласно условию задачи, суммарное время в пути составляет (10 , \text{ч}):
[
t_1 + t_2 = 10
]
Подставлям выражения для (t_1) и (t_2):
[
\frac{84}{v + 5} + \frac{55}{v - 5} = 10
]
4. Умножим уравнение на общий знаменатель
Общий знаменатель — это ((v + 5)(v - 5)). Умножим обе стороны на него:
[
84(v - 5) + 55(v + 5) = 10(v + 5)(v - 5)
]
5. Раскроем скобки
Раскроем скобки и упростим:
[
84v - 420 + 55v + 275 = 10(v^2 - 25)
]
[
139v - 145 = 10v^2 - 250
]
6. Приведем уравнение к стандартному виду
Переносим все члены в одну сторону:
[
10v^2 - 139v - 105 = 0
]
7. Найдем дискриминант
(D = b^2 - 4ac = (-139)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-105))
[
D = 19321 + 4200 = 23521
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{139 \pm \sqrt{23521}}{20}
]
Итак, найдём корень:
(\sqrt{23521} \approx 153.4)
8. Подставим значение в формулу
[
v = \frac{139 \pm 153.4}{20}
]
9. Посчитаем корни
- (v_1 = \frac{139 + 153.4}{20} \approx 14.62)
- (v_2 = \frac{139 - 153.4}{20} \approx -0.72) (отрицательное значение нам не подходит)
Ответ:
Собственная скорость баржи составляет примерно 14.62 км/ч.
