баржа прошла по течению реки 84 км и, повернув обратно, прошла еще 55 км, затратив на весь путь 10 часов. найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5…

Для решения этой задачи воспользуемся формулой, связывающей скорость, путь и время:

\[ \text{Скорость} = \frac{\text{Путь}}{\text{Время}} \]

Дано:

• Путь по течению (с учетом скорости течения): \(84 \, \text{км}\)
• Путь против течения: \(55 \, \text{км}\)
• Время в пути: \(10 \, \text{ч}\)
• Скорость течения реки: \(5 \, \text{км/ч}\)

Обозначим собственную скорость баржи как \(v\) км/ч.

1. По течению

Когда баржа движется по течению, ее скорость равна: \[ v + 5 \, \text{км/ч} \] Путь, который она прошла по течению, равен \(84 \, \text{км}\), следовательно, время, потраченное на этот путь, можно выразить как: \[ t_1 = \frac{84}{v + 5} \]

2. Против течения

Когда баржа движется против течения, ее скорость равна: \[ v - 5 \, \text{км/ч} \] Путь, который она прошла против течения, равен \(55 \, \text{км}\), тогда время, потраченное на этот путь, будет: \[ t_2 = \frac{55}{v - 5} \]

3. Полное время в пути

Согласно условию задачи, суммарное время в пути составляет \(10 \, \text{ч}\): \[ t_1 + t_2 = 10 \]

Подставлям выражения для \(t_1\) и \(t_2\): \[ \frac{84}{v + 5} + \frac{55}{v - 5} = 10 \]

4. Умножим уравнение на общий знаменатель

Общий знаменатель — это \((v + 5)(v - 5)\). Умножим обе стороны на него: \[ 84(v - 5) + 55(v + 5) = 10(v + 5)(v - 5) \]

5. Раскроем скобки

Раскроем скобки и упростим: \[ 84v - 420 + 55v + 275 = 10(v^2 - 25) \] \[ 139v - 145 = 10v^2 - 250 \]

6. Приведем уравнение к стандартному виду

Переносим все члены в одну сторону: \[ 10v^2 - 139v - 105 = 0 \]

7. Найдем дискриминант

\(D = b^2 - 4ac = (-139)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-105)\) \[ D = 19321 + 4200 = 23521 \]

Теперь найдем корни уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{139 \pm \sqrt{23521}}{20} \] Итак, найдём корень: \(\sqrt{23521} \approx 153.4\)

8. Подставим значение в формулу

\[ v = \frac{139 \pm 153.4}{20} \]

9. Посчитаем корни

1. \(v_1 = \frac{139 + 153.4}{20} \approx 14.62\)
2. \(v_2 = \frac{139 - 153.4}{20} \approx -0.72\) (отрицательное значение нам не подходит)

Ответ:

Собственная скорость баржи составляет примерно 14.62 км/ч.