Решите уравнения выполнив замену переменной
Для решения уравнений выполним замену переменной.
a) \(x^4 - 10x^2 - 24 = 0\)
Рассмотрим замену: \(y = x^2\). Тогда уравнение становится: \[ y^2 - 10y - 24 = 0 \]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \times 1 \times (-24) = 100 + 96 = 196 \]
Находим корни: \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{10 \pm 14}{2} \]
Корни: \[ y_1 = \frac{24}{2} = 12; \quad y_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]
Возвращаемся к переменной \(x\):
- \(y = 12 \Rightarrow x^2 = 12 \Rightarrow x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}\)
- \(y = -2 \Rightarrow x^2 = -2 \Rightarrow\) вещественных решений нет.
Следовательно, решения для данного уравнения: \(x = 2\sqrt{3}, -2\sqrt{3}\).
б) \((x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 120\)
Обозначим \(y = x + 2\). Тогда: \((y-1)y(y+1)(y+2) = 120\)
Это уравнение можно решить методом проб и ошибок, или подбором, так как оно четвертой степени и не удается прямолинейно разложить.
Попробуем найти, когда оно примерно равно 120:
- При \(y = 4\), \((y-1)y(y+1)(y+2) = (3)(4)(5)(6) = 360\) (слишком много)
- При \(y = 3\), \((y-1)y(y+1)(y+2) = (2)(3)(4)(5) = 120\)
Отсюда можно сделать вывод: \(y = 3 \Rightarrow x+2 = 3 \Rightarrow x = 1\).
Других целых \(y\), при которых получится 120 в произведении, нет.
в) \(x^{\frac{1}{2}} + 2x + 2|x| + 1 - 14 = 0\)
Упростим выражение: \[x^{\frac{1}{2}} + 2x + 2|x| + 1 = 14\]
Это довольно сложное уравнение, поскольку используются параметры корня и модуля. Разобьем решение на случаи:
Когда \(x \geq 0\), модуль раскрывается как \(x\): \[x^{\frac{1}{2}} + 2x + 2x + 1 = 14\] \[x^{\frac{1}{2}} + 4x + 1 = 14\] \[x^{\frac{1}{2}} + 4x = 13\]
Это можно решать подбором или численно. В этом случае возможны разные подходы, включая использование графиков или численных методов для более точного нахождения значений.
Когда \(x < 0\), учитывая, что домен квадратного корня и модуля в этом выражении не позволяет вычислить такие \(x\), нет решения.
Наиболее вероятно нахождение решения в случае \(x \geq 0\) методом числовых приближений.
Таким образом, каждый подслучай уравнений требует своего анализа, и некоторые результаты (особенно в четвертом уравнении) достигаются численными методами.
