решите уравнение заменой переменной
Для решения уравнения методом замены переменных, начнем с:
\[ \left(3x^2 - 5x\right)^2 - \left(3x^2 - 5x\right) - 2 = 0 \]
Можно заметить, что это уравнение имеет вид квадратного относительно выражения \(3x^2 - 5x\). Так что введем замену:
\[ y = 3x^2 - 5x \]
Тогда уравнение станет:
\[ y^2 - y - 2 = 0 \]
Решим получившееся квадратное уравнение. Для этого найдем корни по формуле квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -2\).
\[ b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]
\[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2} \]
Получаем два корня:
- \[ y_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \]
- \[ y_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]
Теперь вернемся к выражению \(y = 3x^2 - 5x\). Подставим каждый корень:
Для \(y_1 = 2\): \[ 3x^2 - 5x = 2 \] \[ 3x^2 - 5x - 2 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение:
\[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{2 \cdot 3} \]
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{6} = \frac{5 \pm 7}{6} \]
Получаем: \[ x_1 = \frac{5 + 7}{6} = 2 \] \[ x_2 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3} \]
Для \(y_2 = -1\): \[ 3x^2 - 5x = -1 \] \[ 3x^2 - 5x + 1 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение:
\[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} \]
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6} \]
Таким образом, решения исходного уравнения: \[ x = 2, \quad x = -\frac{1}{3}, \quad x = \frac{5 + \sqrt{13}}{6}, \quad x = \frac{5 - \sqrt{13}}{6} \]
