Решите уравнение заменой переменной

Для решения уравнения методом замены переменных, начнем с: \[ \left(3x^2 - 5x\right)^2 - \left(3x^2 - 5x\right) - 2 = 0 \] Можно заметить, что это уравнение имеет вид квадратного относительно выражения \(3x^2 - 5x\). Так что введем замену: \[ y = 3x^2 - 5x \] Тогда уравнение станет: \[ y^2 - y - 2 = 0 \] Решим получившееся квадратное уравнение. Для этого найдем корни по формуле квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -2\). \[ b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] \[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Получаем два корня: 1. \[ y_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] 2. \[ y_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \] Теперь вернемся к выражению \(y = 3x^2 - 5x\). Подставим каждый корень: 1. Для \(y_1 = 2\): \[ 3x^2 - 5x = 2 \] \[ 3x^2 - 5x - 2 = 0 \] Решим это квадратное уравнение: \[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{6} = \frac{5 \pm 7}{6} \] Получаем: \[ x_1 = \frac{5 + 7}{6} = 2 \] \[ x_2 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3} \] 2. Для \(y_2 = -1\): \[ 3x^2 - 5x = -1 \] \[ 3x^2 - 5x + 1 = 0 \] Решим это квадратное уравнение: \[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6} \] Таким образом, решения исходного уравнения: \[ x = 2, \quad x = -\frac{1}{3}, \quad x = \frac{5 + \sqrt{13}}{6}, \quad x = \frac{5 - \sqrt{13}}{6} \]