Какое количество элементарных событий в серии из 9 испытаний Бернулли благоприятствует 4 успехам?

Чтобы понять, как вычислить количество элементарных событий в серии из 9 испытаний Бернулли с 4 успехами, давайте разберем задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Определим понятия

Испытание Бернулли — это эксперимент или процесс, который может завершиться только двумя исходами: успехом и неуспехом (например, выкинуть орел или решку при подбрасывании монеты).

Элементарное событие — это конкретный результат одного испытания. В нашем случае, мы будем рассматривать серию из 9 испытаний, в которых успешный исход (например, «успех») может происходить 4 раза.

Шаг 2: Используем биномиальное распределение

Для нахождения количества способов, которыми можно получить 4 успеха в 9 испытаниях, нам потребуется биномиальная формула. Формула для вычисления числа способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний выглядит следующим образом:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( C(n, k) \) — количество сочетаний,
• \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 9),
• \( k \) — количество успешных испытаний (в нашем случае 4),
• \( n! \) — факториал числа \( n \) (произведение всех положительных целых чисел от 1 до \( n \)).

Шаг 3: Подсчитаем количество сочетаний

Подставим наши значения в формулу:

\[ C(9, 4) = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} \]

Шаг 4: Вычислим факториалы

Теперь вычислим факториалы:

• \( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \)
• \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
• \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)

Таким образом, подставим:

\[ C(9, 4) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

Шаг 5: Посчитаем результат

Сначала посчитаем числитель:

\[ 9 \times 8 = 72, \] \[ 72 \times 7 = 504, \] \[ 504 \times 6 = 3024. \]

Теперь посчитаем знаменатель:

\[ 4 \times 3 = 12, \] \[ 12 \times 2 = 24, \] \[ 24 \times 1 = 24. \]

Теперь мы можем вычислить:

\[ C(9, 4) = \frac{3024}{24} = 126. \]

Ответ

Таким образом, общее количество элементарных событий, благоприятствующих 4 успехам в 9 испытаниях Бернулли, равно 126.