В окружность вписан треугольник A B C ABC так, что A C AC — диаметр окружности. Найди радиус окружности, если известно, что A B = 6 AB=6 , B C = 8 BC=8 .

Для решения этой задачи начнем с основ теории окружностей и свойств треугольников.

У нас есть треугольник \( ABC \), вписанный в окружность, где \( AC \) — это диаметр этой окружности. Это значит, что угол \( ABC \) является прямым (угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90 градусам по теореме о вписанном угле).

Дано:

• \( AB = 6 \)
• \( BC = 8 \)

Найти:

• Радиус окружности.

Решение:

1. Определим третью сторону треугольника (сторону \( AC \)). Поскольку угол \( ABC \) прямой, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая связывает стороны прямоугольного треугольника:

   \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

   Подставим известные значения:

   \[ AC^2 = 6^2 + 8^2 \] \[ AC^2 = 36 + 64 \] \[ AC^2 = 100 \] \[ AC = \sqrt{100} = 10 \]

2. Вычислим радиус окружности. Поскольку \( AC \) — это диаметр окружности, радиус будет равен половине диаметра:

   \[ r = \frac{AC}{2} \] \[ r = \frac{10}{2} = 5 \]

Ответ:

Радиус окружности равен 5.

Вывод:

Таким образом, мы нашли радиус окружности, вписанной в треугольник \( ABC \), используя свойства прямоугольного треугольника и теорему Пифагора.