В окружность вписан треугольник  A B C ABC так, что  A C AC — диаметр окружности. Найди радиус окружности, если известно, что  A B = 6 AB=6,  B C = 8 BC=8.

Для решения этой задачи начнем с основ теории окружностей и свойств треугольников. У нас есть треугольник \( ABC \), вписанный в окружность, где \( AC \) — это диаметр этой окружности. Это значит, что угол \( ABC \) является прямым (угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90 градусам по теореме о вписанном угле). ### Дано: - \( AB = 6 \) - \( BC = 8 \) ### Найти: - Радиус окружности. ### Решение: 1. **Определим третью сторону треугольника** (сторону \( AC \)). Поскольку угол \( ABC \) прямой, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая связывает стороны прямоугольного треугольника: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] Подставим известные значения: \[ AC^2 = 6^2 + 8^2 \] \[ AC^2 = 36 + 64 \] \[ AC^2 = 100 \] \[ AC = \sqrt{100} = 10 \] 2. **Вычислим радиус окружности**. Поскольку \( AC \) — это диаметр окружности, радиус будет равен половине диаметра: \[ r = \frac{AC}{2} \] \[ r = \frac{10}{2} = 5 \] ### Ответ: Радиус окружности равен 5. ### Вывод: Таким образом, мы нашли радиус окружности, вписанной в треугольник \( ABC \), используя свойства прямоугольного треугольника и теорему Пифагора.