Для того чтобы найти нормаль к вектору, нужно воспользоваться следующим понятием: нормальный вектор к плоскости, заданной векторами, будет перпендикулярен этим векторам. Предположим, что у нас есть два вектора (\mathbf{a} = (2, 0, -1)) и (\mathbf{b} = (1, -\sqrt{3}, 12)). Чтобы найти нормаль к плоскости, заданной этими векторами, нужно найти векторное произведение (\mathbf{a} \times \mathbf{b}).
Векторное произведение двух векторов в трёхмерном пространстве даётся по формуле:
[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
2 & 0 & -1 \
1 & -\sqrt{3} & 12
\end{vmatrix}
]
Выразим это определение:
[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i} \left(0 \cdot 12 - (-1) \cdot (-\sqrt{3})\right) - \mathbf{j} \left(2 \cdot 12 - (-1) \cdot 1\right) + \mathbf{k} \left(2 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 1\right)
]
Теперь упрощаем каждую компоненту:
- Для первой компоненты: (0 \cdot 12 - (-1) \cdot (-\sqrt{3}) = 0 - \sqrt{3} = -\sqrt{3})
- Для второй компоненты: (2 \cdot 12 + 1 = 24 + 1 = 25), но поскольку это ( - \mathbf{j} ), то будет (-25).
- Для третьей компоненты: (2 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 1 = -2\sqrt{3})
Следовательно, нормаль (\mathbf{n}) будет равна:
[
\mathbf{n} = (-\sqrt{3}, -25, -2\sqrt{3})
]
Вот таким образом вы можете найти нормаль к плоскости, заданной двумя векторами.
