Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Этот закон гласит, что в замкнутой системе сумма кинетической и потенциальной энергии остаётся постоянной, если на систему не действуют внешние силы.
Шаг 1: Определим виды энергии
Потенциальная энергия (Eп):
Потенциальная энергия в самой высокой точке определяется формулой:
[
E_p = m \cdot g \cdot h
]
где:
- ( m ) — масса (40 кг),
- ( g ) — ускорение свободного падения (примерно ( 9.81 , \text{м/с}^2 )),
- ( h ) — высота (3 м).
Кинетическая энергия (Eк):
Кинетическая энергия в самой нижней точке определяется формулой:
[
E_k = \frac{1}{2} m v^2
]
где ( v ) — скорость.
Шаг 2: Применим закон сохранения механической энергии
На высшей точке качелей (максимальная высота):
- Потенциальная энергия максимальна.
- Кинетическая энергия равна 0 (скорость 0).
На самой нижней точке (максимальная скорость):
- Потенциальная энергия равна 0 (высота 0).
- Кинетическая энергия максимальна.
По закону сохранения механической энергии можно записать:
[
E_p = E_k
]
Подставим формулы:
[
m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} m v^2
]
Шаг 3: Упростим уравнение
У нас есть масса ( m ) с обеих сторон уравнения, поэтому мы можем её сократить, при условии, что ( m \neq 0 ):
[
g \cdot h = \frac{1}{2} v^2
]
Умножим обе стороны на 2:
[
2gh = v^2
]
Шаг 4: Найдём скорость ( v )
Теперь подставим значения ( g ) и ( h ):
[
v^2 = 2 \cdot 9.81 \cdot 3
]
[
v^2 = 58.86
]
Теперь найдём ( v ), взяв квадратный корень:
[
v = \sqrt{58.86} \approx 7.67 , \text{м/с}
]
Ответ
Максимальная скорость Кати в самой нижней точке раскачивания составляет примерно 7.67 м/с.
