8. Решите уравнение 3х2-14х-7=(x-1).
Давайте решим уравнение \(3x^2 - 14x - 7 = (x - 1)\) шаг за шагом.
Шаг 1: Привести уравнение к стандартному виду
Сначала переместим все члены на одну сторону уравнения, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения. Для этого уменьшим правую часть:
\[ 3x^2 - 14x - 7 - (x - 1) = 0 \]
Раскроем скобки:
\[ 3x^2 - 14x - 7 - x + 1 = 0 \]
Объединим подобные члены:
\[ 3x^2 - 15x - 6 = 0 \]
Теперь у нас есть уравнение в стандартном виде \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 3\), \(b = -15\), \(c = -6\).
Шаг 2: Использовать дискриминант
Теперь найдем дискриминант \(D\) для квадратного уравнения:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Подставляем значения \(a\), \(b\) и \(c\):
\[ D = (-15)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) \] \[ D = 225 + 72 = 297 \]
Шаг 3: Найти корни уравнения
Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), у уравнения есть два различных корня. Используем формулу для нахождения корней:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Теперь подставим значения:
\[ x_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{297}}{2 \cdot 3} \] \[ x_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{297}}{6} \]
Шаг 4: Упростим корни
Для упрощения найдем \(\sqrt{297}\). Можно записать 297 в виде:
\[ 297 = 3 \cdot 99 = 3 \cdot 3 \cdot 33 = 9 \cdot 33 \] \[ \sqrt{297} = 3\sqrt{33} \]
Теперь подставим это значение обратно в формулу для корней:
\[ x_{1,2} = \frac{15 \pm 3\sqrt{33}}{6} \]
Для упрощения можно разделить каждый член на 3:
\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2} \]
Шаг 5: Записываем окончательные корни
Таким образом, у нас получились два корня уравнения:
\[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \] \[ x_2 = \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \]
Ответ:
Корни уравнения \(3x^2 - 14x - 7 = (x - 1)\) таковы:
\[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \quad x_2 = \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \]
Если у вас есть дополнительные вопросы по решению или другим материалам, пожалуйста, спрашивайте!
