Сумма двух целых чисел равна 101, а разность их квадратов простое число. Найдите эти числа.

Для решения этой задачи давайте обозначим два целых числа как \( x \) и \( y \). Из условия задачи у нас есть две информации:

1. Сумма двух чисел равна 101: \[ x + y = 101 \]

2. Разность их квадратов является простым числом: \[ x^2 - y^2 = p \] где \( p \) — простое число.

Шаг 1: Выражение разности квадратов

Разность квадратов двух чисел можно представить через их сумму и разность: \[ x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) \]

Подставим \( x + y = 101 \): \[ x^2 - y^2 = 101(x - y) \] Таким образом, \( 101(x - y) \) должно быть простым числом.

Шаг 2: Использование свойства простых чисел

Поскольку \( 101 \) — это простое число, \( 101(x - y) \) может быть простым только в случае, если \( x - y = 1 \) или \( x - y = -1 \).

Шаг 3: Рассмотрим оба случая

Случай 1: \( x - y = 1 \)

Добавим это уравнение к уравнению суммы: \[ x + y = 101 \] \[ x - y = 1 \] Сложим эти два уравнения: \[ 2x = 102 \implies x = 51 \] Теперь подставим \( x \) обратно в первое уравнение, чтобы найти \( y \): \[ 51 + y = 101 \implies y = 50 \]

Случай 2: \( x - y = -1 \)

Добавим это уравнение к уравнению суммы: \[ x + y = 101 \] \[ x - y = -1 \] Сложим эти два уравнения: \[ 2x = 100 \implies x = 50 \] Теперь подставим \( x \) обратно в первое уравнение: \[ 50 + y = 101 \implies y = 51 \]

Шаг 4: Подведем итоги

Таким образом, мы нашли два возможных решения:

1. \( x = 51, y = 50 \)
2. \( x = 50, y = 51 \)

В обоих случаях сумма двух чисел составляет 101, а разность их квадратов: \[ x^2 - y^2 = (51^2 - 50^2) = (51 - 50)(51 + 50) = 1 \cdot 101 = 101 \] Поскольку 101 — это простое число, оба найденных числа удовлетворяют условиям задачи.

Ответ:

Два целых числа, которые удовлетворяют данным условиям — 51 и 50.