Для решения этой задачи давайте обозначим два целых числа как ( x ) и ( y ). Из условия задачи у нас есть две информации:
Сумма двух чисел равна 101:
[
x + y = 101
]
Разность их квадратов является простым числом:
[
x^2 - y^2 = p
]
где ( p ) — простое число.
Шаг 1: Выражение разности квадратов
Разность квадратов двух чисел можно представить через их сумму и разность:
[
x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)
]
Подставим ( x + y = 101 ):
[
x^2 - y^2 = 101(x - y)
]
Таким образом, ( 101(x - y) ) должно быть простым числом.
Шаг 2: Использование свойства простых чисел
Поскольку ( 101 ) — это простое число, ( 101(x - y) ) может быть простым только в случае, если ( x - y = 1 ) или ( x - y = -1 ).
Шаг 3: Рассмотрим оба случая
Случай 1: ( x - y = 1 )
Добавим это уравнение к уравнению суммы:
[
x + y = 101
]
[
x - y = 1
]
Сложим эти два уравнения:
[
2x = 102 \implies x = 51
]
Теперь подставим ( x ) обратно в первое уравнение, чтобы найти ( y ):
[
51 + y = 101 \implies y = 50
]
Случай 2: ( x - y = -1 )
Добавим это уравнение к уравнению суммы:
[
x + y = 101
]
[
x - y = -1
]
Сложим эти два уравнения:
[
2x = 100 \implies x = 50
]
Теперь подставим ( x ) обратно в первое уравнение:
[
50 + y = 101 \implies y = 51
]
Шаг 4: Подведем итоги
Таким образом, мы нашли два возможных решения:
- ( x = 51, y = 50 )
- ( x = 50, y = 51 )
В обоих случаях сумма двух чисел составляет 101, а разность их квадратов:
[
x^2 - y^2 = (51^2 - 50^2) = (51 - 50)(51 + 50) = 1 \cdot 101 = 101
]
Поскольку 101 — это простое число, оба найденных числа удовлетворяют условиям задачи.
Ответ:
Два целых числа, которые удовлетворяют данным условиям — 51 и 50.
