Реши

Давайте разберем каждую задачу по очереди, используя свойства биссектрисы треугольника. ### Задача 1 **Условие:** Биссектриса BD делит сторону AC треугольника ABC на отрезки AD = 7 см и DC = 10,5 см, AB = 9 см. Чему равен периметр треугольника ABC? **Решение:** 1. **Свойство биссектрисы:** \[ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \] Подставим известные величины: \[ \frac{7}{10.5} = \frac{9}{BC} \] 2. **Решение пропорции:** \[ 7 \times BC = 9 \times 10.5 \] \[ 7 \times BC = 94.5 \] \[ BC = \frac{94.5}{7} \approx 13.5 \text{ см} \] 3. **Периметр треугольника ABC:** \[ P = AB + BC + AC = 9 + 13.5 + (7 + 10.5) \] \[ P = 9 + 13.5 + 17.5 = 40 \text{ см} \] ### Задача 2 **Условие:** Найдите две стороны треугольника, если одна сторона равна 91 см, а биссектрис, проведенная к третьей стороне, делит ее на отрезки 15 см и 24 см. **Решение:** 1. **Обозначим:** - \( AD = 15 \) см - \( DC = 24 \) см - \( BC = 91 \) см 2. **Свойство биссектрисы:** \[ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{AC} \] \[ \frac{15}{24} = \frac{AB}{AC} \] 3. **Найдем общий множитель для сторон:** \[ \frac{AB}{AC} = \frac{5}{8} \] 4. **Найдем AB и AC, используя соотношение:** \( AB = 5k \), \( AC = 8k \). Из свойства: \[ BC = 91 = 5k + 8k = 13k \] \[ k = \frac{91}{13} = 7 \] 5. **Тогда:** \[ AB = 5k = 35 \text{ см} \] \[ AC = 8k = 56 \text{ см} \] ### Задача 3 **Условие:** В равнобедренном треугольнике биссектрис, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки 30 см и 25 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника. **Решение:** 1. **Биссектриса в равнобедренном треугольнике:** Она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные основаниям ягод. 2. **Обозначим:** - \( AB = AC = x \) (так как треугольник равнобедренный) - \( BD = 30 \) см - \( DC = 25 \) см 3. **Свойство биссектрисы:** \[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \] \[ \frac{30}{25} = \frac{x}{x} \] Так как треугольник равнобедренный, это не влияет на равенство. 4. **Периметр:** - \( P = AB + AC + BC \) - Поскольку \( AB \) и \( AC \) равны, нужен только \( BC \). - \( BC = BD + DC = 30 + 25 = 55 \text{ см} \) - Периметр: \[ P = x + x + 55 \] Без указания конкретных значений \( x \) (динамического роста стороны), мы не сможем точно прорешить, но \( x \) одно и то же для \( AB \) и \( AC \). Теперь вы знаете, как применять свойства биссектрис для решения таких задач.