В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5 в один из углов между боковой стороной и основанием равен 45 найти площадь этой трапеции

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, давайте начнем с того, что мы запишем формулы и рассмотрим нашу задачу шаг за шагом. ### Дано: - Длина одного основания \( a = 3 \) - Длина другого основания \( b = 5 \) - Угол между боковой стороной и основанием \( \alpha = 45^\circ \) ### Пошаговое решение: 1. **Найдем высоту трапеции:** В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, и углы, образованные боковыми сторонами с основаниями, одинаковы. Зная угол \( \alpha = 45^\circ \), мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты. В равнобедренной трапеции высота \( h \) может быть найдена через боковую сторону \( c \) и угол \( \alpha \): \[ h = c \cdot \sin(\alpha) \] Здесь \(\alpha = 45^\circ\), а \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). 2. **Найдём боковую сторону:** Для этого воспользуемся тем, что в равнобедренной трапеции, если мы опустим высоту из верхнего основания на нижнее, то мы получим два прямоугольных треугольника. Обозначим разность оснований \( \Delta = b - a = 5 - 3 = 2 \). Половина этой разности \( \frac{\Delta}{2} = 1 \). Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник с одной стороной \( 1 \) и углом в \( 45^\circ \). Используем теорему Пифагора для нахождения боковой стороны \( c \): \[ c^2 = h^2 + 1^2 \] Подставим значение высоты \( h \): \[ c^2 = (c \cdot \sin(45^\circ))^2 + 1^2 \] \[ c^2 = (c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 1 \] \[ c^2 = \frac{c^2}{2} + 1 \] Умножим на 2 чтобы исключить дробь: \[ 2c^2 = c^2 + 2 \] \[ c^2 = 2 \] \[ c = \sqrt{2} \] 3. **Найдем высоту:** Теперь подставим значение боковой стороны \( c \) обратно для нахождения высоты: \[ h = c \cdot \sin(45^\circ) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \] 4. **Рассчитаем площадь трапеции:** Площадь \( S \) равнобедренной трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h \] Подставим известные значения: \[ S = \frac{(3 + 5)}{2} \cdot 1 = \frac{8}{2} \cdot 1 = 4 \] ### Ответ: Площадь данной равнобедренной трапеции составляет \( 4 \) квадратных единицы.