квадратичная функция его график и свойства

Квадратичная функция — это функция, которую можно записать в общем виде как:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

где \( a \), \( b \) и \( c \) — это числовые коэффициенты, а \( x \) — переменная. График квадратной функции представляет собой параболу.

Основные свойства квадратичной функции:

1. Коэффициент \( a \):

   • Если \( a > 0 \), парабола открыта вверх.
   • Если \( a < 0 \), парабола открыта вниз.

2. Вершина параболы:

   • Вершина параболы — это точка, в которой функция достигает своего максимума или минимума (в зависимости от знака \( a \)).
   • Координаты вершины можно найти по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \]
   • Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим \( x_v \) в исходное уравнение: \[ y_v = f\left(-\frac{b}{2a}\right) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c \]

3. Осевую симметрии:

   • Парабола является симметричной относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину, то есть: \[ x = -\frac{b}{2a} \]

4. Корни функции:

   • Корни квадратного уравнения (или точки пересечения графика с осью Ox) можно найти с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \]
   • В зависимости от значения дискриминанта:
     • Если \( D > 0 \), у функции два различных действительных корня.
     • Если \( D = 0 \), у функции один корень (касательная к оси Ox).
     • Если \( D < 0 \), у функции нет действительных корней (парабола не пересекает ось Ox).

5. Пересечение с осью Oy:

   • Значение функции при \( x = 0\) — это \( c \). То есть график пересечет ось Oy в точке \( (0, c) \).

Пример:

Рассмотрим функцию \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \).

1. Находим коэффициенты: \( a = 2 \), \( b = -4 \), \( c = 1 \).
2. Вершина: \[ x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1 \] \[ y_v = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 \] Вершина параболы находится в точке \( (1, -1) \).
3. Осевой симметрии: \( x = 1 \).
4. Дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8 \quad (D > 0, \text{ два корня}) \] Корни можно найти с помощью формулы: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{8}}{4} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{8}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \]
5. Пересечение с осью Oy: \( f(0) = 1 \), следовательно, точка пересечения — \( (0, 1) \).

Заключение

График функции \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \) — это парабола, открытая вверх, с вершиной в точке \( (1, -1) \), двумя корнями и точкой пересечения с осью Oy в \( (0, 1) \).