Реши
Давайте разберем каждую из задач:
Найдите вектор \( \mathbf{C} \), равный сумме векторов \( \mathbf{A} \) и \( \mathbf{B} \), и абсолютную величину вектора \( \mathbf{C} \), если \( \mathbf{A} = (1; -4) \), \( \mathbf{B} = (4; 8) \).
Решение:
\[ \mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = (1 + 4, -4 + 8) = (5, 4) \]
Теперь найдем абсолютную величину (длину) вектора \( \mathbf{C} \):
\[ |\mathbf{C}| = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \]
Постройте разность векторов, изображенных на рисунке:
Разность векторов \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{a} \) выражается как \( \mathbf{b} - \mathbf{a} \). Предположительно, рисунок показывает векторы на плоскости. Разность векторов сводится к их концевой и начальной точкам, результат будет указывать от конечной точки вектора \( \mathbf{a} \) к конечной точке вектора \( \mathbf{b} \).
Даны точки \( A(1; 5) \); \( B(3; 2) \); \( C(4; 0) \); \( M(3; 4) \). Найдите:
Координаты векторов \( \mathbf{AB} \) и \( \mathbf{MC} \):
\[ \mathbf{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (3 - 1, 2 - 5) = (2, -3) \]
\[ \mathbf{MC} = (x_C - x_M, y_C - y_M) = (4 - 3, 0 - 4) = (1, -4) \]
Вектор, равный \( 3\mathbf{AB} - 2\mathbf{MC} \):
Сначала найдем \( 3\mathbf{AB} \) и \( 2\mathbf{MC} \):
\[ 3\mathbf{AB} = 3 \times (2, -3) = (6, -9) \]
\[ 2\mathbf{MC} = 2 \times (1, -4) = (2, -8) \]
Теперь найдем разность:
\[ 3\mathbf{AB} - 2\mathbf{MC} = (6, -9) - (2, -8) = (6 - 2, -9 + 8) = (4, -1) \]
Скалярное произведение векторов \( \mathbf{BC} \) и \( \mathbf{AM} \):
Сначала найдем координаты векторов \( \mathbf{BC} \) и \( \mathbf{AM} \):
\[ \mathbf{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (4 - 3, 0 - 2) = (1, -2) \]
\[ \mathbf{AM} = (x_M - x_A, y_M - y_A) = (3 - 1, 4 - 5) = (2, -1) \]
Теперь вычислим их скалярное произведение:
\[ \mathbf{BC} \cdot \mathbf{AM} = (1 \times 2) + (-2 \times -1) = 2 + 2 = 4 \]
Эти подробные шаги помогут вам понять, как решаются данные задачи. Если потребуется дополнительное объяснение, пожалуйста, дайте знать!
