Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 5. Найдите высоту этого треугольника

Чтобы найти высоту равностороннего треугольника, если известен радиус вписанной окружности, следуем следующим шагам.

Понятия

1. Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны, и все углы равны (по 60 градусов).

2. Радиус вписанной окружности (r) — это радиус окружности, которая касается всех сторон треугольника. В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности связан со стороной треугольника (a) формулой: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \]

3. Высота равностороннего треугольника (h) выражается через сторону по формуле: \[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} \]

Шаг 1: Найти сторону треугольника по радиусу вписанной окружности

Из известного радиуса окружности (r = 5) можем воспользоваться формулой для радиуса: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] Подставим значение r в формулу и найдем сторону a: \[ 5 = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] Умножаем обе стороны уравнения на 6: \[ 30 = a \sqrt{3} \] Теперь делим обе стороны на \(\sqrt{3}\): \[ a = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \]

Шаг 2: Найти высоту треугольника

Теперь, когда мы нашли сторону \(a\), можем использовать её для нахождения высоты \(h\): \[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} \] Подставим найденное значение стороны: \[ h = \frac{10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} \] Поскольку \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\): \[ h = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15 \]

Ответ

Высота равностороннего треугольника равна \(15\).