Саша подвесила на пружину груз массой 5 кг и посредством измерений определила, что его период составляет 4 с. Чему равна жёсткость пружины?
Для решения задачи используем формулу, связывающую период колебаний пружинного маятника с жёсткостью пружины.
Период колебаний \( T \) для пружинного маятника можно найти по формуле:
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]
где:
- \( T \) — период колебаний (в секундах),
- \( m \) — масса груза (в килограммах),
- \( k \) — жёсткость пружины (в Н/м).
В данном случае у нас есть:
- \( T = 4 \) с,
- \( m = 5 \) кг.
Наша цель — найти жёсткость пружины \( k \).
Шаг 1: Подставим известные значения в формулу
Сначала преобразуем формулу:
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]
Чтобы избавиться от корня, возведём обе части уравнения в квадрат:
\[ T^2 = (2\pi)^2 \cdot \frac{m}{k} \]
Это приводит к следующему уравнению:
\[ T^2 = 4\pi^2 \cdot \frac{m}{k} \]
Шаг 2: Изолируем \( k \)
Теперь выразим \( k \):
\[ k = 4\pi^2 \cdot \frac{m}{T^2} \]
Шаг 3: Подставляем значения
Теперь подставим наши значения в уравнение:
- \( m = 5 \) кг,
- \( T = 4 \) с.
\[ k = 4\pi^2 \cdot \frac{5}{4^2} \]
Шаг 4: Рассчитаем
Посчитаем \( 4^2 \):
\[ 4^2 = 16 \]
Теперь подставим это значение:
\[ k = 4\pi^2 \cdot \frac{5}{16} \]
Теперь посчитаем \( 4\pi^2 \):
\[ 4\pi^2 \approx 4 \cdot 9.87 = 39.48 \, \text{(приблизительно)} \]
Теперь подставим это значение в формулу:
\[ k \approx \frac{39.48 \cdot 5}{16} \approx \frac{197.4}{16} \approx 12.34 \, \text{Н/м} \]
Ответ
Таким образом, жёсткость пружины составляет примерно:
\[ k \approx 12.34 \, \text{Н/м} \]
Это конечный ответ на задачу.
