периметр прямоугольника равен 62-м, найдите его стороны, если его площадь равна 210 м2
Чтобы найти стороны прямоугольника по заданным данным — периметру и площади, мы можем использовать формулы периметра и площади прямоугольника.
Обозначим стороны прямоугольника:
Пусть длина прямоугольника — \( a \), а ширина — \( b \).Формула периметра:
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:
\[ P = 2a + 2b \] В нашем случае известно, что \( P = 62 \). Значит, можем записать: \[ 2a + 2b = 62 \] Упростим это уравнение, разделив его на 2: \[ a + b = 31 \quad \text{(1)} \]Формула площади:
Площадь прямоугольника определяется как: \[ S = a \cdot b \] В нашем случае известно, что \( S = 210 \). Значит, можем записать: \[ ab = 210 \quad \text{(2)} \]Решение системы уравнений:
У нас есть два уравнения: (1) \( a + b = 31 \) и (2) \( ab = 210 \).Из уравнения (1) выразим одно из переменных через другое: \[ b = 31 - a \]
Подставим \( b \) во второе уравнение (2): \[ a(31 - a) = 210 \] Раскроем скобки: \[ 31a - a^2 = 210 \] Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ a^2 - 31a + 210 = 0 \]
Решение квадратного уравнения:
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 210 \] Посчитаем: \[ D = 961 - 840 = 121 \]Найдем корни уравнения с помощью формулы: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим наши значения: \[ a = \frac{31 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{31 \pm 11}{2} \] Таким образом, находим два значения: \[ a_1 = \frac{42}{2} = 21, \quad a_2 = \frac{20}{2} = 10 \]
Нахождение сторон:
Теперь, используя \( a \) для нахождения \( b \):- Если \( a = 21 \), то \( b = 31 - 21 = 10 \).
- Если \( a = 10 \), то \( b = 31 - 10 = 21 \).
Таким образом, стороны прямоугольника составляют 21 м и 10 м.
Ответ: Стороны прямоугольника: 21 м и 10 м.
