Доказать тождество: 1) x²-3x+4=0 2) 7x³-28x=0 3) 81x³+36x²+4x=0 4) 3x³-6x²-75x+150=0

Давайте рассмотрим каждое из заданных уравнений и научимся их решать. Мы будем работать поэтапно и подробно объяснять каждый шаг.

1) Уравнение: \( x^2 - 3x + 4 = 0 \)

Это квадратное уравнение, и мы можем решать его с помощью дискриминанта.

Шаг 1: Найдите дискриминант. Формула дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 1, b = -3, c = 4 \).

\( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 \)

Шаг 2: Поскольку дискриминант меньше 0, у этого уравнения нет действительных корней.

2) Уравнение: \( 7x^3 - 28x = 0 \)

Шаг 1: Вынесите общий множитель. Общий множитель (фактор) — это \( 7x \).

\( 7x(x^2 - 4) = 0 \)

Шаг 2: Решите каждую часть. Первая часть: \( 7x = 0 \) ⇒ \( x = 0 \).
Вторая часть: \( x^2 - 4 = 0 \) ⇒ \( x^2 = 4 \) ⇒ \( x = ±2 \).

Решения: \( x = 0, x = 2, x = -2 \).

3) Уравнение: \( 81x^3 + 36x^2 + 4x = 0 \)

Шаг 1: Вынесите общий множитель. У нас есть общий множитель \( x \).

\( x(81x^2 + 36x + 4) = 0 \)

Шаг 2: Решите первую часть. Первая часть: \( x = 0 \).

Шаг 3: Решите квадратное уравнение: \( 81x^2 + 36x + 4 = 0 \) с помощью дискриминанта. Дискриминант: \( D = 36^2 - 4 \cdot 81 \cdot 4 = 1296 - 1296 = 0 \).

Шаг 4: Поскольку дискриминант равен 0, у уравнения есть один двойной корень. Корень: \( x = \frac{-b}{2a} = \frac{-36}{2 \cdot 81} = -\frac{36}{162} = -\frac{2}{9} \).

Решения: \( x = 0 \) и \( x = -\frac{2}{9} \).

4) Уравнение: \( 3x^3 - 6x^2 - 75x + 150 = 0 \)

Шаг 1: Вынесите общий множитель. Общий множитель — это 3.

\( 3(x^3 - 2x^2 - 25x + 50) = 0 \)

Теперь мы можем решить \( x^3 - 2x^2 - 25x + 50 = 0 \).

Шаг 2: Используйте метод подбора, чтобы найти корень. Попробуем подставить \( x = 5 \):

\( 5^3 - 2 \cdot 5^2 - 25 \cdot 5 + 50 = 125 - 50 - 125 + 50 = 0 \)

Значит, \( x = 5 \) — корень.

Шаг 3: Разделите на \( (x - 5) \) с помощью деления многочлена. Проведя деление \( x^3 - 2x^2 - 25x + 50 \) на \( x - 5 \), получим:

\( x^2 + 3x - 10 \).

Шаг 4: Решите квадратное уравнение \( x^2 + 3x - 10 = 0 \) с помощью дискриминанта. Дискриминант: \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \).

Корни: \( x = \frac{-3 ± 7}{2} \). Корни:

1. \( x = 2 \)
2. \( x = -5 \)

Решения: \( x = 5, x = 2, x = -5 \).

Итоги:

1. \( x^2 - 3x + 4 = 0 \) — нет действительных корней.
2. \( 7x^3 - 28x = 0 \) — корни: \( 0, 2, -2 \).
3. \( 81x^3 + 36x^2 + 4x = 0 \) — корни: \( 0, -\frac{2}{9} \).
4. \( 3x^3 - 6x^2 - 75x + 150 = 0 \) — корни: \( 5, 2, -5 \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или задачи, не стесняйтесь спрашивать!