Доказать тождество: 1) x²-3x+4=0 2) 7x³-28x=0 3) 81x³+36x²+4x=0 4) 3x³-6x²-75x+150=0

Давайте рассмотрим каждое из заданных уравнений и научимся их решать. Мы будем работать поэтапно и подробно объяснять каждый шаг. ### 1) Уравнение: \( x^2 - 3x + 4 = 0 \) Это квадратное уравнение, и мы можем решать его с помощью дискриминанта. **Шаг 1: Найдите дискриминант.** Формула дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 1, b = -3, c = 4 \). \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 \) **Шаг 2: Поскольку дискриминант меньше 0, у этого уравнения нет действительных корней.** ### 2) Уравнение: \( 7x^3 - 28x = 0 \) **Шаг 1: Вынесите общий множитель.** Общий множитель (фактор) — это \( 7x \). \( 7x(x^2 - 4) = 0 \) **Шаг 2: Решите каждую часть.** Первая часть: \( 7x = 0 \) ⇒ \( x = 0 \). Вторая часть: \( x^2 - 4 = 0 \) ⇒ \( x^2 = 4 \) ⇒ \( x = ±2 \). **Решения:** \( x = 0, x = 2, x = -2 \). ### 3) Уравнение: \( 81x^3 + 36x^2 + 4x = 0 \) **Шаг 1: Вынесите общий множитель.** У нас есть общий множитель \( x \). \( x(81x^2 + 36x + 4) = 0 \) **Шаг 2: Решите первую часть.** Первая часть: \( x = 0 \). **Шаг 3: Решите квадратное уравнение: \( 81x^2 + 36x + 4 = 0 \) с помощью дискриминанта.** Дискриминант: \( D = 36^2 - 4 \cdot 81 \cdot 4 = 1296 - 1296 = 0 \). **Шаг 4: Поскольку дискриминант равен 0, у уравнения есть один двойной корень.** Корень: \( x = \frac{-b}{2a} = \frac{-36}{2 \cdot 81} = -\frac{36}{162} = -\frac{2}{9} \). **Решения:** \( x = 0 \) и \( x = -\frac{2}{9} \). ### 4) Уравнение: \( 3x^3 - 6x^2 - 75x + 150 = 0 \) **Шаг 1: Вынесите общий множитель.** Общий множитель — это 3. \( 3(x^3 - 2x^2 - 25x + 50) = 0 \) Теперь мы можем решить \( x^3 - 2x^2 - 25x + 50 = 0 \). **Шаг 2: Используйте метод подбора, чтобы найти корень.** Попробуем подставить \( x = 5 \): \( 5^3 - 2 \cdot 5^2 - 25 \cdot 5 + 50 = 125 - 50 - 125 + 50 = 0 \) Значит, \( x = 5 \) — корень. **Шаг 3: Разделите на \( (x - 5) \) с помощью деления многочлена.** Проведя деление \( x^3 - 2x^2 - 25x + 50 \) на \( x - 5 \), получим: \( x^2 + 3x - 10 \). **Шаг 4: Решите квадратное уравнение \( x^2 + 3x - 10 = 0 \) с помощью дискриминанта.** Дискриминант: \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \). Корни: \( x = \frac{-3 ± 7}{2} \). Корни: 1. \( x = 2 \) 2. \( x = -5 \) **Решения:** \( x = 5, x = 2, x = -5 \). ### Итоги: 1) \( x^2 - 3x + 4 = 0 \) — нет действительных корней. 2) \( 7x^3 - 28x = 0 \) — корни: \( 0, 2, -2 \). 3) \( 81x^3 + 36x^2 + 4x = 0 \) — корни: \( 0, -\frac{2}{9} \). 4) \( 3x^3 - 6x^2 - 75x + 150 = 0 \) — корни: \( 5, 2, -5 \). Если у вас есть дополнительные вопросы или задачи, не стесняйтесь спрашивать!