Используя метод интервалов, решите неравенство: x²+6x>=-9

Давайте решим неравенство \( x^2 + 6x \geq -9 \) с помощью метода интервалов.

Шаг 1: Приведем неравенство к стандартному виду

Сначала перенесем все выражения на одну сторону неравенства:

\[ x^2 + 6x + 9 \geq 0 \]

Шаг 2: Упростим выражение

Теперь упростим левую часть, распознав это как полный квадрат:

\[ (x + 3)^2 \geq 0 \]

Шаг 3: Проанализируем неравенство

Теперь мы видим, что выражение \( (x + 3)^2 \) представляет собой квадрат числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше либо равно нуля). Таким образом, мы можем сделать следующие выводы:

\[ (x + 3)^2 \geq 0 \]

Это неравенство истинно для всех \( x \), так как квадрат любого числа ≥ 0.

Шаг 4: Найдем, когда выражение равно нулю

Однако нам нужно выяснить, когда выражение равно нулю:

\[ (x + 3)^2 = 0 \]

Корень этого уравнения:

\[ x + 3 = 0 \implies x = -3 \]

Шаг 5: Итоговое решение

Таким образом, \( (x + 3)^2 \geq 0 \) для всех \( x \), и равен нулю только когда \( x = -3 \).

Следовательно, мы можем записать окончательное решение:

\[ \text{Все } x \in \mathbb{R} \]

или более конкретно:

\[ x \in (-\infty, -3] \cup [-3, +\infty) \]

Заключение

Так как выражение \( (x + 3)^2 \) всегда неотрицательно для всех \( x \) и равно нулю в точке \( x = -3 \), то неравенство выполняется при любых \( x \).