Давайте решим неравенство ( x^2 + 6x \geq -9 ) с помощью метода интервалов.
Шаг 1: Приведем неравенство к стандартному виду
Сначала перенесем все выражения на одну сторону неравенства:
[
x^2 + 6x + 9 \geq 0
]
Шаг 2: Упростим выражение
Теперь упростим левую часть, распознав это как полный квадрат:
[
(x + 3)^2 \geq 0
]
Шаг 3: Проанализируем неравенство
Теперь мы видим, что выражение ( (x + 3)^2 ) представляет собой квадрат числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше либо равно нуля). Таким образом, мы можем сделать следующие выводы:
[
(x + 3)^2 \geq 0
]
Это неравенство истинно для всех ( x ), так как квадрат любого числа ≥ 0.
Шаг 4: Найдем, когда выражение равно нулю
Однако нам нужно выяснить, когда выражение равно нулю:
[
(x + 3)^2 = 0
]
Корень этого уравнения:
[
x + 3 = 0 \implies x = -3
]
Шаг 5: Итоговое решение
Таким образом, ( (x + 3)^2 \geq 0 ) для всех ( x ), и равен нулю только когда ( x = -3 ).
Следовательно, мы можем записать окончательное решение:
[
\text{Все } x \in \mathbb{R}
]
или более конкретно:
[
x \in (-\infty, -3] \cup [-3, +\infty)
]
Заключение
Так как выражение ( (x + 3)^2 ) всегда неотрицательно для всех ( x ) и равно нулю в точке ( x = -3 ), то неравенство выполняется при любых ( x ).
