В урне 20 белых и 10 чёрных шаров выкинули подряд четыре шара причём каждый вынутый шар возвращают в урну перед излечение следующего и шары в перемешивают Какова вероятность того то что и за четыре выкинувших шаров оказывается два белых

Чтобы решить задачу о вероятности извлечения двух белых шаров из urnы с 20 белыми и 10 черными шарами, где каждый вынутый шар возвращается в urnу перед следующим извлечением, будем использовать методы комбинаторики и вероятности. 1. **Общее количество шаров:** В urnе всего 20 (белых) + 10 (черных) = 30 шаров. 2. **Вероятности вынуть шар:** - Вероятность вынуть белый шар: \( P(\text{белый}) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \) - Вероятность вынуть черный шар: \( P(\text{черный}) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \) 3. **Событие:** Мы хотим узнать вероятность события, когда из 4 вынутых шаров 2 белых и 2 черных. 4. **Обозначения:** Обозначим количество белых шаров как \( X_B \) и количество черных шаров как \( X_C \). В нашем случае \( X_B = 2 \) и \( X_C = 2 \). 5. **Общее количество исходов:** Поскольку мы вынимаем 4 шара и каждый раз выбор освежается (шары возвращаются в urnу), общее количество возможных исходов будет \( 30^4 \) (по 30 возможных шаров на каждом этапе). 6. **Количество благоприятных исходов:** Теперь мы можем воспользоваться биномиальным распределением, чтобы вычислить количество способов выбрать 2 белых и 2 черных шаров из 4: \[ \text{Число способов выбрать 2 белых и 2 черных} = \binom{4}{2} \cdot (P(\text{белый}))^2 \cdot (P(\text{черный}))^2 \] Здесь \( \binom{4}{2} \) — это количество способов выбрать 2 белых шара из 4 (это также соответствует тому, как можно расположить белые и черные шары). Вычислим: \[ \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 \] Далее подставим вероятности: \[ P(\text{2 белых, 2 черных}) = 6 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 \] \[ = 6 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{9} = 6 \cdot \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27} \] 7. **Итак, вероятность того, что из четырёх вынутых шаров ровно два белых, равна:** \[ P(2 \text{ белых и } 2 \text{ черных}) = \frac{8}{27} \] Таким образом, ответ: вероятность того, что при последовательном вынимании четырёх шаров получатся два белых шара, составляет \(\frac{8}{27}\).