tg45°sin120°ctg150°

Чтобы решить задачу \( tg 45° \cdot sin 120° \cdot ctg 150° \), разберем каждую из функций по отдельности.

Шаг 1: Вычисление \( tg 45° \)

Угла \( 45° \) тангенс можно найти с помощью основных тригонометрических соотношений. Известно, что:

\[ tg 45° = 1 \]

Шаг 2: Вычисление \( sin 120° \)

Теперь рассчитаем синус угла \( 120° \). Угол \( 120° \) находится во втором квадранте, где синус положителен. Можно воспользоваться соотношением:

\[ sin 120° = sin (180° - 60°) = sin 60° \]

Значение \( sin 60° \) равно:

\[ sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Следовательно,

\[ sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Шаг 3: Вычисление \( ctg 150° \)

Котангенс \( 150° \) также можно вычислить. Котангенс угла определяется как обратная функция тангенса:

\[ ctg 150° = \frac{1}{tg 150°} \]

Тангенс угла \( 150° \) находится в втором квадранте и равен:

\[ tg 150° = tg (180° - 30°) = -tg 30° \]

Так как:

\[ tg 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

то:

\[ tg 150° = -\frac{1}{\sqrt{3}} \implies ctg 150° = -\sqrt{3} \]

Шаг 4: Соберем все части вместе

Теперь у нас есть:

\[ tg 45° = 1, \] \[ sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \] \[ ctg 150° = -\sqrt{3} \]

Теперь подставляем все значения в исходное выражение:

\[ tg 45° \cdot sin 120° \cdot ctg 150° = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\sqrt{3}) \]

Шаг 5: Упрощение

Упростим выражение:

\[ 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\sqrt{3}) = -\frac{3}{2} \]

Ответ

Таким образом, итоговое значение выражения \( tg 45° \cdot sin 120° \cdot ctg 150° \) равно:

\[ -\frac{3}{2} \]