Разложите на множитель двучлен: 64a^6-b^6

Чтобы разложить двучлен \( 64a^6 - b^6 \) на множители, можно воспользоваться формулой разности квадратов. Данный двучлен имеет вид \( A^2 - B^2 \), где:

• \( A = 8a^3 \) (так как \( (8a^3)^2 = 64a^6 \))
• \( B = b^3 \) (так как \( (b^3)^2 = b^6 \))

По формуле разности квадратов \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \), мы можем записать:

\[ 64a^6 - b^6 = (8a^3 - b^3)(8a^3 + b^3) \]

Теперь у нас есть два множителя: \( (8a^3 - b^3) \) и \( (8a^3 + b^3) \).

Дальнейшее разложение

Теперь можем уложить второй множитель \( (8a^3 - b^3) \) с использованием формулы разности кубов:

Формула разности кубов: \[ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) \]

Где:

• \( A = 2a \)
• \( B = b \)

Поэтому: \[ 8a^3 - b^3 = (2a - b)((2a)^2 + (2a)b + b^2) = (2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2) \]

Теперь можем подставить это обратно в разложение:

\[ 64a^6 - b^6 = (2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2)(8a^3 + b^3) \]

А \( 8a^3 + b^3 \) можно разложить по формуле суммы кубов:

Формула суммы кубов: \[ A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) \]

Где:

• \( A = 2a \)
• \( B = b \)

Таким образом: \[ 8a^3 + b^3 = (2a + b)((2a)^2 - (2a)b + b^2) = (2a + b)(4a^2 - 2ab + b^2) \]

Полное разложение

Теперь подставляем все обратно:

\[ 64a^6 - b^6 = (2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2)(2a + b)(4a^2 - 2ab + b^2) \]

Таким образом, окончательное разложение двучлена \( 64a^6 - b^6 \) на множители выглядит следующим образом:

\[ 64a^6 - b^6 = (2a - b)(2a + b)(4a^2 + 2ab + b^2)(4a^2 - 2ab + b^2) \]

Это и есть окончательный ответ.