Разложите на множитель двучлен: 64a^6-b^6 чтобы было в ответе две скобки, одна из них должна равняться (3a-b)

Решим задачу по разложению двучлена \( 64a^6 - b^6 \) на множители. Начнем с первичных преобразований.

Шаг 1: Опознаем структуру выражения

Это выражение можно распознать как разность двух кубов, потому что: \[ 64a^6 = (4a^2)^3 \quad \text{и} \quad b^6 = (b^2)^3 \] Следовательно, мы можем переписать двучлен в следующем виде: \[ (4a^2)^3 - (b^2)^3 \]

Шаг 2: Применяем формулу разности кубов

Формула разности кубов гласит: \[ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \] В нашем случае \( x = 4a^2 \) и \( y = b^2 \). Подставив в формулу, получаем: \[ (4a^2 - b^2)((4a^2)^2 + (4a^2)(b^2) + (b^2)^2) \]

Шаг 3: Вычисляем второй множитель

Теперь вычислим \( (4a^2)^2 + (4a^2)(b^2) + (b^2)^2 \): \[ (4a^2)^2 = 16a^4, \quad (4a^2)(b^2) = 4a^2b^2, \quad (b^2)^2 = b^4 \] Таким образом, второй множитель становится: \[ 16a^4 + 4a^2b^2 + b^4 \]

Теперь можем записать разложение на множители с учетом полученного выражения: \[ 64a^6 - b^6 = (4a^2 - b^2)(16a^4 + 4a^2b^2 + b^4) \]

Шаг 4: Разложим первый множитель

Обратите внимание, что \( 4a^2 - b^2 \) является разностью квадратов, которую можно разложить дальше: \[ 4a^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b) \]

Шаг 5: Полное разложение

Теперь подставим это разложение обратно в наше выражение: \[ 64a^6 - b^6 = (2a - b)(2a + b)(16a^4 + 4a^2b^2 + b^4) \]

Шаг 6: Нахождение желаемой скобки

Теперь заметим, что в условии задачи указано, что одна из скобок должна быть \( (3a - b) \). Чтобы получить её, давайте рассмотрим возможность разложения: \( (4a^2 - b^2) \) может быть записано как: \[ 4a^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b) \] Возможно, все же вы имели в виду другое выражение или уточняли, что там должно присутствовать \( (3a - b) \).

В итоге для указанных условий:

• Полное разложение выражения: \((2a - b)(2a + b)(16a^4 + 4a^2b^2 + b^4)\).

Если есть необходимость в более узком разложении, пожалуйста, дайте знать.