^5√2•^10√2+^5√-2√2
Давайте разберем данное выражение шаг за шагом.
Имеем:
\[ \sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[10]{2} + \sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt{2} \]
Шаг 1: Упрощение корней
Первое, что нам нужно сделать — это привести корни к общему основанию. Для этого мы воспользуемся тем, что корень n-й степени можно представить как степень с дробным показателем.
- \(\sqrt[5]{2} = 2^{1/5}\)
- \(\sqrt[10]{2} = 2^{1/10}\)
- \(\sqrt[5]{-2} = (-2)^{1/5}\)
- \(\sqrt{2} = 2^{1/2}\)
Шаг 2: Приводим корни к общему основанию
Теперь подставим эти представления в наше выражение:
\[ 2^{1/5} \cdot 2^{1/10} + (-2)^{1/5} \cdot 2^{1/2} \]
Сложим степени с одинаковым основанием. Мы можем это сделать, используя свойства степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
Первый слагаемый:
\[ 2^{1/5} \cdot 2^{1/10} = 2^{1/5 + 1/10} \]
Чтобы сложить дроби, найдем общий знаменатель:
- \( 1/5 = 2/10 \)
- Так что \( 1/5 + 1/10 = 2/10 + 1/10 = 3/10 \)
Таким образом, первое слагаемое:
\[ 2^{3/10} \]
Второй слагаемый:
Теперь займемся вторым слагаемым:
\[ (-2)^{1/5} \cdot 2^{1/2} = (-2)^{1/5} \cdot 2^{5/10} \]
Теперь мы видим, что можно записать \((-2)^{1/5} = -(2^{1/5})\):
\[ -(2^{1/5}) \cdot 2^{5/10} = -2^{1/5 + 5/10} = -2^{1/5 + 1/2} \]
И давайте также найдем общий знаменатель для \(1/5\) и \(1/2\):
- \(1/2 = 5/10\)
Таким образом:
\[ 1/5 + 1/2 = 2/10 + 5/10 = 7/10 \]
Итак, второе слагаемое будет:
\[ -2^{7/10} \]
Шаг 3: Объединяем результаты
Теперь мы можем объединить оба слагаемых в одно выражение:
\[ 2^{3/10} - 2^{7/10} \]
Шаг 4: Вынесение общего множителя
Можно вынести общий множитель \(2^{3/10}\):
\[ 2^{3/10} (1 - 2^{4/10}) \]
Где \(2^{4/10} = 2^{2/5}\).
Окончательный ответ
Таким образом, упрощенное выражение будет:
\[ 2^{3/10} (1 - 2^{2/5}) \]
Это конечный результат, который также можно оставить в виде:
\[ 2^{3/10} (1 - \sqrt[5]{4}) \]
Надеюсь, что объяснение было понятным! Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать.
