^5√2•^10√2+^5√-2√2

Давайте разберем данное выражение шаг за шагом. Имеем: \[ \sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[10]{2} + \sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt{2} \] ### Шаг 1: Упрощение корней Первое, что нам нужно сделать — это привести корни к общему основанию. Для этого мы воспользуемся тем, что корень n-й степени можно представить как степень с дробным показателем. - \(\sqrt[5]{2} = 2^{1/5}\) - \(\sqrt[10]{2} = 2^{1/10}\) - \(\sqrt[5]{-2} = (-2)^{1/5}\) - \(\sqrt{2} = 2^{1/2}\) ### Шаг 2: Приводим корни к общему основанию Теперь подставим эти представления в наше выражение: \[ 2^{1/5} \cdot 2^{1/10} + (-2)^{1/5} \cdot 2^{1/2} \] Сложим степени с одинаковым основанием. Мы можем это сделать, используя свойства степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \). #### Первый слагаемый: \[ 2^{1/5} \cdot 2^{1/10} = 2^{1/5 + 1/10} \] Чтобы сложить дроби, найдем общий знаменатель: - \( 1/5 = 2/10 \) - Так что \( 1/5 + 1/10 = 2/10 + 1/10 = 3/10 \) Таким образом, первое слагаемое: \[ 2^{3/10} \] #### Второй слагаемый: Теперь займемся вторым слагаемым: \[ (-2)^{1/5} \cdot 2^{1/2} = (-2)^{1/5} \cdot 2^{5/10} \] Теперь мы видим, что можно записать \((-2)^{1/5} = -(2^{1/5})\): \[ -(2^{1/5}) \cdot 2^{5/10} = -2^{1/5 + 5/10} = -2^{1/5 + 1/2} \] И давайте также найдем общий знаменатель для \(1/5\) и \(1/2\): - \(1/2 = 5/10\) Таким образом: \[ 1/5 + 1/2 = 2/10 + 5/10 = 7/10 \] Итак, второе слагаемое будет: \[ -2^{7/10} \] ### Шаг 3: Объединяем результаты Теперь мы можем объединить оба слагаемых в одно выражение: \[ 2^{3/10} - 2^{7/10} \] ### Шаг 4: Вынесение общего множителя Можно вынести общий множитель \(2^{3/10}\): \[ 2^{3/10} (1 - 2^{4/10}) \] Где \(2^{4/10} = 2^{2/5}\). ### Окончательный ответ Таким образом, упрощенное выражение будет: \[ 2^{3/10} (1 - 2^{2/5}) \] Это конечный результат, который также можно оставить в виде: \[ 2^{3/10} (1 - \sqrt[5]{4}) \] Надеюсь, что объяснение было понятным! Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать.