Задание №1
Условие:
Туристическую группу из 18 человек разместили в двух- и трёхместные номера. Всего было занято номеров. Сколько среди них было двухместных?
Решение:
Давайте обозначим количество двухместных номеров как (x), а количество трёхместных номеров как (y). Теперь мы можем записать систему линейных уравнений.
Из условия задачи мы знаем, что общее количество человек в группе составляет 18:
[
2x + 3y = 18
]
Также нам нужно знать, сколько номеров в итоге занято. Так как нам не дана эта информация, предположим, что у нас есть общее количество номеров (z). Тогда:
[
x + y = z
]
Если (z) не указано в задаче, мы можем выразить одну переменную через другую. Для решения предположим, что всего заняты 6 номеров: в этом случае (z = 6.), тогда получаем:
[
x + y = 6
]
Теперь у нас есть система:
[
\begin{cases}
2x + 3y = 18 \
x + y = 6
\end{cases}
]
Теперь мы можем выразить (y) через (x) из второго уравнения:
[
y = 6 - x
]
Теперь подставим это значение в первое уравнение:
[
2x + 3(6 - x) = 18
]
Упрощая:
[
2x + 18 - 3x = 18
]
[
-x + 18 = 18
]
[
-x = 0 \implies x = 0
]
Теперь подставим значение (x) обратно в выражение для (y):
[
y = 6 - 0 = 6
]
Ответ:
Таким образом, было 0 двухместных номеров и 6 трёхместных, что на 18 человек в общей сложности. В случае, если количество номеров будет другим, систему нужно решить соответствующим образом.
Задание №2
Условие:
Катер за 4 ч по течению и 6 ч против течения проходит 192 км. Найдите скорость течения и собственную скорость катера, если за 2 ч по течению катер проходит столько же, сколько за 3 ч против течения.
Решение:
Обозначим собственную скорость катера как (v) км/ч, а скорость течения как (c) км/ч.
По течению скорость катера составляет (v + c), а против течения — (v - c).
Составим уравнения по времени:
Для движения по течению:
[
(v + c) \cdot 4 = 192 \quad \Rightarrow \quad v + c = \frac{192}{4} = 48 \tag{1}
]
Для движения против течения:
[
(v - c) \cdot 6 = 192 \quad \Rightarrow \quad v - c = \frac{192}{6} = 32 \tag{2}
]
Теперь у нас есть система:
[
\begin{cases}
v + c = 48 \
v - c = 32
\end{cases}
]
- Сложим два уравнения, чтобы избавиться от (c):
[
(v + c) + (v - c) = 48 + 32
]
[
2v = 80 \quad \Rightarrow \quad v = 40 \text{ км/ч}
]
Теперь подставим найденное значение (v) в одно из уравнений, чтобы найти (c), например, в (1):
[
40 + c = 48 \quad \Rightarrow \quad c = 8 \text{ км/ч}
]
Ответ:
Собственная скорость катера равна 40 км/ч, а скорость течения — 8 км/ч.
Задание №3
Условие:
Восьмиклассник Петя готовился к контрольной работе по математике и решил за два дня 44 примера. В среду он решил в 1,2 раза меньше примеров, чем в четверг. Сколько примеров решил Петя в среду?
Решение:
Обозначим количество примеров, решённых в четверг, как (x). Тогда в среду он решит ( \frac{x}{1.2} ) примеров.
Сумма примеров за два дня равна 44:
[
\frac{x}{1.2} + x = 44
]
Чтобы избавиться от дроби, умножим на 1.2:
[
x + 1.2x = 44 \cdot 1.2
]
[
2.2x = 52.8
]
[
x = \frac{52.8}{2.2} = 24
]
Теперь можем найти количество примеров, решённых в среду:
[
\frac{x}{1.2} = \frac{24}{1.2} = 20
]
Ответ:
Петя решил 20 примеров в среду.
