Давайте решим систему уравнений:
- ( 2x + 3y = 1 )
- ( 6x - 2y = 14 )
Шаг 1: Выразим одно из переменных
Начнем с первого уравнения и выразим (y) через (x):
[
2x + 3y = 1
]
Перепишем его, чтобы выразить (3y):
[
3y = 1 - 2x
]
Теперь разделим обе стороны уравнения на 3:
[
y = \frac{1 - 2x}{3}
]
Шаг 2: Подставим (y) во второе уравнение
Теперь подставим полученное значение (y) во второе уравнение:
[
6x - 2y = 14
]
Заменяем (y) на ( \frac{1 - 2x}{3} ):
[
6x - 2\left(\frac{1 - 2x}{3}\right) = 14
]
Умножим всё уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей:
[
18x - 2(1 - 2x) = 42
]
Теперь раскроем скобки:
[
18x - 2 + 4x = 42
]
Объединим подобные члены:
[
(18x + 4x) - 2 = 42
]
[
22x - 2 = 42
]
Шаг 3: Изолируем (x)
Теперь изолируем (x):
[
22x = 42 + 2
]
[
22x = 44
]
Теперь разделим на 22:
[
x = 2
]
Шаг 4: Найдем (y)
Теперь, когда мы знаем значение (x), подставим его обратно в выражение для (y):
[
y = \frac{1 - 2(2)}{3} = \frac{1 - 4}{3} = \frac{-3}{3} = -1
]
Шаг 5: Ответ
Мы нашли значения переменных:
[
x = 2, \quad y = -1
]
Проверка
Проверим, подставляя найденные значения в оба уравнения:
- ( 2(2) + 3(-1) = 4 - 3 = 1 ) (верно)
- ( 6(2) - 2(-1) = 12 + 2 = 14 ) (верно)
Таким образом, система уравнений имеет решение:
[
\boxed{(2, -1)}
]
