Чтобы составить приведённое квадратное уравнение, нам нужно воспользоваться свойствами корней квадратного уравнения.
В общем виде квадратное уравнение записывается как:
[ x^2 + bx + c = 0 ]
где ( b ) — сумма корней, а ( c ) — произведение корней.
По условию задачи:
Сумма корней (обозначим корни как ( x_1 ) и ( x_2 )) равна 6:
[
x_1 + x_2 = 6
]
Произведение корней равно 4:
[
x_1 \cdot x_2 = 4
]
Согласно формуле, для приведённого квадратного уравнения значение ( b ) будет равно -сумме корней, а значение ( c ) — произведению корней:
- Наша ( b ) будет равна -6 (так как сумма корней равна 6).
- Значение ( c ) будет равно 4 (как указано в условии).
Таким образом, уравнение выглядит так:
[
x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0
]
Подставляя значения:
[
x^2 - 6x + 4 = 0
]
Теперь у нас есть уравнение:
[
x^2 - 6x + 4 = 0
]
Это и есть искомое приведённое квадратное уравнение.
Чтобы проверить, правильно ли мы его составили, мы можем найти корни этого уравнения. Для этого воспользуемся дискриминантом:
[
D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20
]
Корни уравнения можно найти по формуле:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим значения:
[
x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2}
]
[
x_{1,2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2}
]
[
x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{5}
]
Теперь проверим:
- Сумма корней:
[
(3 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5}) = 3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} = 6
]
- Произведение корней:
[
(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4
]
Оба условия удовлетворены. Таким образом, решение задачи подтверждается:
Искомое квадратное уравнение:
[
x^2 - 6x + 4 = 0
]
