4. Для функции y = cos 1/2 * x найдите: а) область определения: 6) область значений: в) наимений положительный периоде г) промежутки убывания: д) промежутки знакопостоянства. е)…

Давайте решим эту задачу по функции \( y = \cos\left(\frac{1}{2} x\right) \) шаг за шагом.

а) Область определения

Область определения функции — это значения \( x \), при которых функция определена. Функция \( \cos(x) \) определена для всех действительных чисел, значит:

Область определения: \( x \in (-\infty; +\infty) \)

б) Область значений

Область значений — это все возможные значения, которые может принимать функция. Так как косинус всегда принимает значения от -1 до 1:

Область значений: \( y \in [-1; 1] \)

в) Найдите положительный период

Период функции \( y = \cos(kx) \) определяется как:

\[ T = \frac{2\pi}{k} \]

Для нашей функции \( k = \frac{1}{2} \).

Следовательно, период будет:

\[ T = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi \]

Положительный период: \( T = 4\pi \)

г) Промежутки убывания

Функция убывает на промежутках, где ее производная \( y' \) меньше нуля. Найдем производную:

\[ y' = -\sin\left(\frac{1}{2} x\right) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \sin\left(\frac{1}{2} x\right) \]

Функция убывает, когда \( \sin\left(\frac{1}{2} x\right) > 0 \). Это происходит, когда:

\[ \frac{1}{2} x \in (2k\pi; (2k + 1)\pi), \; k \in \mathbb{Z} \]

Перемножив на 2, получим:

\[ x \in (4k\pi; (4k + 2)\pi) \]

Таким образом, функции убывает на промежутках:

Промежутки убывания: \( (4k\pi; (4k + 2)\pi), \; k \in \mathbb{Z} \)

д) Промежутки знакопостоянства

Функция \( y = \cos\left(\frac{1}{2} x\right) \) будет постоянной, когда ее производная равна нулю:

\[ -\frac{1}{2} \sin\left(\frac{1}{2} x\right) = 0 \]

Это происходит, когда:

\[ \sin\left(\frac{1}{2} x\right) = 0 \]

Решим:

\[ \frac{1}{2} x = k\pi \implies x = 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \]

Здесь функция не изменяет знак, т.к. косинус меняет знак между пиками.

Промежутки знакопостоянства: \( x \in (2k\pi, (2k + 1)\pi), \; k \in \mathbb{Z} \)

е) Четность или нечетность

Функция \( y = \cos\left(\frac{1}{2} x\right) \) является четной функцией, если выполняется условие:

\[ f(-x) = f(x) \]

Проверим:

\[ y(-x) = \cos\left(\frac{1}{2} (-x)\right) = \cos\left(-\frac{1}{2} x\right) = \cos\left(\frac{1}{2} x\right) = y(x) \]

Таким образом, функция четная.

Четность функции: Четная

Теперь у нас есть полное решение для поставленной задачи! Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте!