Давайте решим эту задачу по функции ( y = \cos\left(\frac{1}{2} x\right) ) шаг за шагом.
а) Область определения
Область определения функции — это значения ( x ), при которых функция определена. Функция ( \cos(x) ) определена для всех действительных чисел, значит:
Область определения: ( x \in (-\infty; +\infty) )
б) Область значений
Область значений — это все возможные значения, которые может принимать функция. Так как косинус всегда принимает значения от -1 до 1:
Область значений: ( y \in [-1; 1] )
в) Найдите положительный период
Период функции ( y = \cos(kx) ) определяется как:
[
T = \frac{2\pi}{k}
]
Для нашей функции ( k = \frac{1}{2} ).
Следовательно, период будет:
[
T = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi
]
Положительный период: ( T = 4\pi )
г) Промежутки убывания
Функция убывает на промежутках, где ее производная ( y' ) меньше нуля. Найдем производную:
[
y' = -\sin\left(\frac{1}{2} x\right) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \sin\left(\frac{1}{2} x\right)
]
Функция убывает, когда ( \sin\left(\frac{1}{2} x\right) > 0 ). Это происходит, когда:
[
\frac{1}{2} x \in (2k\pi; (2k + 1)\pi), ; k \in \mathbb{Z}
]
Перемножив на 2, получим:
[
x \in (4k\pi; (4k + 2)\pi)
]
Таким образом, функции убывает на промежутках:
Промежутки убывания: ( (4k\pi; (4k + 2)\pi), ; k \in \mathbb{Z} )
д) Промежутки знакопостоянства
Функция ( y = \cos\left(\frac{1}{2} x\right) ) будет постоянной, когда ее производная равна нулю:
[
-\frac{1}{2} \sin\left(\frac{1}{2} x\right) = 0
]
Это происходит, когда:
[
\sin\left(\frac{1}{2} x\right) = 0
]
Решим:
[
\frac{1}{2} x = k\pi \implies x = 2k\pi, ; k \in \mathbb{Z}
]
Здесь функция не изменяет знак, т.к. косинус меняет знак между пиками.
Промежутки знакопостоянства: ( x \in (2k\pi, (2k + 1)\pi), ; k \in \mathbb{Z} )
е) Четность или нечетность
Функция ( y = \cos\left(\frac{1}{2} x\right) ) является четной функцией, если выполняется условие:
[
f(-x) = f(x)
]
Проверим:
[
y(-x) = \cos\left(\frac{1}{2} (-x)\right) = \cos\left(-\frac{1}{2} x\right) = \cos\left(\frac{1}{2} x\right) = y(x)
]
Таким образом, функция четная.
Четность функции: Четная
Теперь у нас есть полное решение для поставленной задачи! Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте!
