у простите выражение 1-tg²a/cos 2a
Чтобы упростить выражение \( \frac{1 - \tan^2 a}{\cos 2a} \), давайте рассмотрим каждую часть подробно.
Шаг 1: Используем тригонометрические идентичности
Подставим идентичности Мы знаем, что \( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \), тогда: \[ \tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \]
Подставим это в наше выражение: \[ 1 - \tan^2 a = 1 - \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\cos^2 a} \]
Заменим \( 1 - \tan^2 a \) в нашем выражении Теперь мы можем заменить \( 1 - \tan^2 a \): \[ \frac{1 - \tan^2 a}{\cos 2a} = \frac{\frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\cos^2 a}}{\cos 2a} \]
Шаг 2: Используем идентичность для косинуса двойного угла
Мы знаем, что \( \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a \) (это одна из формул для косинуса двойного угла).
- Подставим известное значение Совместим это с нашим выражением: \[ \frac{\frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\cos^2 a}}{\cos 2a} = \frac{\frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\cos^2 a}}{\cos^2 a - \sin^2 a} \]
Шаг 3: Упростим выражение
- Сократим одинаковые части Мы можем сократить \( \cos^2 a - \sin^2 a \) в числителе и знаменателе (если \( \cos^2 a - \sin^2 a \neq 0\)): \[ = \frac{1}{\cos^2 a} \quad \text{(при условии, что } \cos^2 a - \sin^2 a \neq 0\text{)} \] Следовательно, результирующее выражение: \[ = \sec^2 a \]
Ответ
Итак, упрощённое выражение \( \frac{1 - \tan^2 a}{\cos 2a} \) равно \( \sec^2 a \).
Заключение
Эти шаги показывают, как можно использовать тригонометрические идентичности, чтобы упростить данное выражение. Надеюсь, это помогло вам понять процесс упрощения! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
