Решите систему уравнений 3x+y=10 x²-y=8

Для решения системы уравнений

1. \( 3x + y = 10 \)
2. \( x^2 - y = 8 \)

давайте сначала выразим \( y \) из первого уравнения и подставим полученное значение во второе уравнение.

Шаг 1: Выразим \( y \)

Из первого уравнения:

\[ y = 10 - 3x \]

Шаг 2: Подставим \( y \) во второе уравнение

Теперь подставим \( y \) из первого уравнения во второе:

\[ x^2 - (10 - 3x) = 8 \]

Шаг 3: Упростим уравнение

Раскроем скобки:

\[ x^2 - 10 + 3x = 8 \]

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения, чтобы у нас осталось стандартное квадратное уравнение:

\[ x^2 + 3x - 10 - 8 = 0 \]

Упрощаем:

\[ x^2 + 3x - 18 = 0 \]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Теперь мы можем решить квадратное уравнение \( x^2 + 3x - 18 = 0 \) с помощью формулы корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \( a = 1 \), \( b = 3 \), и \( c = -18 \).

Сначала найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 \]

Так как \( D > 0 \), у уравнения два различных корня.

Теперь находим корни:

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 9}{2} \]

Это дает нам два решения:

1. \( x_1 = \frac{6}{2} = 3 \)
2. \( x_2 = \frac{-12}{2} = -6 \)

Шаг 5: Найдем соответствующие значения \( y \)

Теперь найдем значения \( y \) для каждого значения \( x \).

1. Если \( x = 3 \):

\[ y = 10 - 3 \cdot 3 = 10 - 9 = 1 \]

2. Если \( x = -6 \):

\[ y = 10 - 3 \cdot (-6) = 10 + 18 = 28 \]

Ответ:

Таким образом, у нас есть два решения системы:

1. \( (3, 1) \)
2. \( (-6, 28) \)

Эти пары \((x, y)\) являются решениями заданной системы уравнений.