девятый член арифметической прогрессии равен 20. Чему равна сумма её 17 членов

Чтобы найти сумму 17 членов арифметической прогрессии, зная, что девятый член прогрессии равен 20, давайте сначала вспомним основные формулы и определения, связанные с арифметической прогрессией.

Шаг 1: Определение арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается путем добавления (или вычитания) постоянного числа (называемого разностью) к предыдущему члену. Формула n-го члена арифметической прогрессии может быть записана следующим образом:

\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]

где:

• \(a_n\) — n-й член прогрессии,
• \(a_1\) — первый член прогрессии,
• \(d\) — разность прогрессии,
• \(n\) — номер члена.

Шаг 2: Найдем \(a_1\) и \(d\)

По условию задачи:

\[ a_9 = a_1 + (9 - 1) \cdot d = 20 \]

Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

\[ a_1 + 8d = 20 \quad (1) \]

Шаг 3: Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии

Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Или её можно записать как:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n - 1) \cdot d) \]

Шаг 4: Найдем сумму 17 членов \(S_{17}\)

В нашем случае:

• \(n = 17\),
• Мы знаем, что \(a_n = a_{17} = a_1 + 16d\).

Подставим это значение в формулу суммы:

\[ S_{17} = \frac{17}{2} \cdot (a_1 + a_{17}) = \frac{17}{2} \cdot (a_1 + (a_1 + 16d)) = \frac{17}{2} \cdot (2a_1 + 16d) = \frac{17}{2} \cdot (2a_1 + 16d) \]

Шаг 5: Упрощение выражения

Из приведенного выше уравнения \( (1) \), мы можем выразить \(2a_1 + 16d\): \[ 2a_1 + 16d = 2(a_1 + 8d) = 2 \cdot 20 = 40. \]

Теперь подставим это значение в формулу суммы:

\[ S_{17} = \frac{17}{2} \cdot 40 = \frac{680}{2} = 340. \]

Ответ

Сумма первых 17 членов данной арифметической прогрессии равна 340.