Совершающий свободные гармонические колебания вдоль положительного направления оси Ox пружинный маятник (k=150 Н/м), достигает амплитудное значение смещения 50 см. Рассчитай,…

Чтобы решить задачу о пружинном маятнике, который совершает гармонические колебания, мы можем использовать закон сохранения энергии. В таких системах механическая энергия сохраняется и состоит из потенциальной и кинетической энергий.

Данные задачи:

• Жесткость пружины \( k = 150 \, \text{Н/м} \)
• Амплитуда колебаний \( A = 50 \, \text{см} = 0.5 \, \text{м} \)
• Масса маятника \( m = 100 \, \text{г} = 0.1 \, \text{кг} \)
• Координата точки, где мы ищем скорость \( x = 47 \, \text{см} = 0.47 \, \text{м} \)

Шаг 1: Найдем потенциальную энергию в данной точке

Формула для потенциальной энергии пружины: \[ U = \frac{1}{2} k x^2 \] Подставим \( x = 0.47 \, \text{м} \): \[ U = \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot (0.47)^2 \] \[ U = \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot 0.2209 \approx 16.58 \, \text{Дж} \]

Шаг 2: Найдем полную потенциальную энергию в амплитудной точке

Когда пружина максимально растянута (в точке амплитуды \( A \)): \[ U_{max} = \frac{1}{2} k A^2 \] \[ U_{max} = \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot (0.5)^2 \] \[ U_{max} = \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot 0.25 = 18.75 \, \text{Дж} \]

Шаг 3: Найдем кинетическую энергию в точке 47 см

Согласно закону сохранения энергии: \[ E_{total} = U + K \] где \( K \) — кинетическая энергия: \[ K = E_{total} - U = U_{max} - U \] Подставляем значения: \[ K = 18.75 - 16.58 = 2.17 \, \text{Дж} \]

Шаг 4: Найдем скорость маятника

Формула для кинетической энергии: \[ K = \frac{1}{2} m v^2 \] где \( v \) — скорость. Подставляем значение кинетической энергии и массу: \[ 2.17 = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \cdot v^2 \] Сначала умножим обе стороны на 2: \[ 4.34 = 0.1 v^2 \] Теперь делим на 0.1: \[ 43.4 = v^2 \] И находим значение \( v \): \[ v = \sqrt{43.4} \approx 6.6 \, \text{м/с} \]

Ответ

Скорость пружинного маятника в точке с координатой 47 см составляет приблизительно 6.6 м/с.