Чтобы решить задачу о пружинном маятнике, который совершает гармонические колебания, мы можем использовать закон сохранения энергии. В таких системах механическая энергия сохраняется и состоит из потенциальной и кинетической энергий.
Данные задачи:
- Жесткость пружины ( k = 150 , \text{Н/м} )
- Амплитуда колебаний ( A = 50 , \text{см} = 0.5 , \text{м} )
- Масса маятника ( m = 100 , \text{г} = 0.1 , \text{кг} )
- Координата точки, где мы ищем скорость ( x = 47 , \text{см} = 0.47 , \text{м} )
Шаг 1: Найдем потенциальную энергию в данной точке
Формула для потенциальной энергии пружины:
[
U = \frac{1}{2} k x^2
]
Подставим ( x = 0.47 , \text{м} ):
[
U = \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot (0.47)^2
]
[
U = \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot 0.2209 \approx 16.58 , \text{Дж}
]
Шаг 2: Найдем полную потенциальную энергию в амплитудной точке
Когда пружина максимально растянута (в точке амплитуды ( A )):
[
U_{max} = \frac{1}{2} k A^2
]
[
U_{max} = \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot (0.5)^2
]
[
U_{max} = \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot 0.25 = 18.75 , \text{Дж}
]
Шаг 3: Найдем кинетическую энергию в точке 47 см
Согласно закону сохранения энергии:
[
E_{total} = U + K
]
где ( K ) — кинетическая энергия:
[
K = E_{total} - U = U_{max} - U
]
Подставляем значения:
[
K = 18.75 - 16.58 = 2.17 , \text{Дж}
]
Шаг 4: Найдем скорость маятника
Формула для кинетической энергии:
[
K = \frac{1}{2} m v^2
]
где ( v ) — скорость. Подставляем значение кинетической энергии и массу:
[
2.17 = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \cdot v^2
]
Сначала умножим обе стороны на 2:
[
4.34 = 0.1 v^2
]
Теперь делим на 0.1:
[
43.4 = v^2
]
И находим значение ( v ):
[
v = \sqrt{43.4} \approx 6.6 , \text{м/с}
]
Ответ
Скорость пружинного маятника в точке с координатой 47 см составляет приблизительно 6.6 м/с.
