Ознакомьтесь с ситуацией. Студенты выпускного курса технологического колледжа Иван и Петр после прохождения преддипломной практики на местном предприятии приборостроения были приглашены на работу. Молодые специалисты приняли предложение и ничуть не пожалели. Вот только добираться до места работы было неудобно, поскольку в час пик транспорт был загружен, и иногда это становилось причиной опозданий. Ребята приняли для себя решение приобрести электросамокаты и в теплое время года использовать их в качестве средства для передвижения. В магазине им приглянулась модель самоката стоимостью 90 000 руб. и 1 октября 2024 года каждый из них оформил кредит на 3 месяца под 23% годовых. Поскольку ребята обратились в разные банки, они решили сравнить графики платежей по кредитам. В силу того, что Иван взял кредит, предусматривающий его погашение дифференцированными платежами, а Петр аннуитетными платежами, графики выглядели по-разному.
Укажите, какова разница в суммах переплат по взятым ребятами кредитам? При расчетах используйте метод математического округления двух знаков после запятой.
Чтобы определить разницу в суммах переплат по кредитам, которые взяли Иван и Петр, нам нужно рассчитать полную стоимость кредитов для обоих, а затем определить переплату.
### Исходные данные:
- **Стоимость самоката**: 90,000 руб.
- **Срок кредита**: 3 месяца.
- **Процентная ставка**: 23% годовых.
### 1. Кредит Ивана (дифференцированные платежи)
**Формула для расчета дифференцированного платежа:**
\[ P = \frac{S}{n} + \frac{S \cdot r}{100 \cdot 12} \]
где:
- \( S \) — сумма кредита (90,000 руб.),
- \( n \) — количество месяцев (3),
- \( r \) — годовая процентная ставка (23%).
#### Шаги расчета:
1. Рассчитаем часть основного долга, которую нужно выплатить каждый месяц:
\[ \frac{S}{n} = \frac{90,000}{3} = 30,000 \text{ руб.} \]
2. Рассчитаем проценты к оплате:
- Проценты за первый месяц:
\[ \frac{90,000 \cdot 23}{100 \cdot 12} = 1,725 \text{ руб.} \]
- За второй месяц (остаток долга будет 90,000 - 30,000 = 60,000):
\[ \frac{60,000 \cdot 23}{100 \cdot 12} = 1,150 \text{ руб.} \]
- За третий месяц (остаток долга будет 60,000 - 30,000 = 30,000):
\[ \frac{30,000 \cdot 23}{100 \cdot 12} = 577.50 \text{ руб.} \]
3. Рассчитаем общий платеж за 3 месяца:
- Первый месяц: \( 30,000 + 1,725 = 31,725 \text{ руб.} \)
- Второй месяц: \( 30,000 + 1,150 = 31,150 \text{ руб.} \)
- Третий месяц: \( 30,000 + 577.50 = 30,577.50 \text{ руб.} \)
4. Суммируем все платежи:
\[ 31,725 + 31,150 + 30,577.50 = 93,452.50 \text{ руб.} \]
5. Определяем переплату:
\[ 93,452.50 - 90,000 = 3,452.50 \text{ руб. } \]
### 2. Кредит Петра (аннуитетные платежи)
**Формула для расчета аннуитетного платежа:**
\[ A = \frac{S \cdot r}{(1 - (1 + r)^{-n})} \]
где:
- \( A \) — аннуитетный платеж,
- \( r \) — месячная процентная ставка \( r = \frac{23}{100 \cdot 12} = 0.0191667 \).
#### Шаги расчета:
1. Подставляем значения:
\[ A = \frac{90,000 \cdot 0.0191667}{1 - (1 + 0.0191667)^{-3}} \]
2. Рассчитаем \( (1 + 0.0191667)^{-3} \):
\[ (1 + 0.0191667)^{-3} = (1.0191667)^{-3} \approx 0.942139 \]
3. Находим аннуитетный платеж:
\[ A \approx \frac{90,000 \cdot 0.0191667}{1 - 0.942139} \]
\[ A \approx \frac{1,725}{0.057861} \approx 29,790.79 \text{ руб.} \]
4. Общая сумма платежей за 3 месяца:
\[ 29,790.79 \cdot 3 = 89,372.37 \text{ руб.} \]
5. Определяем переплату:
\[ 89,372.37 - 90,000 = -627.63 \text{ руб.} \]
(переплата в данном случае фактически отрицательна, т.е. кредит по аннуитету обходится меньше).
### 3. Подсчет разницы в переплатах:
Итак, суммарные переплаты:
- У Ивана: \( 3,452.50 \) руб.
- У Петра: \( -627.63 \) руб.
Разница в переплатах:
\[ \text{Разница} = 3,452.50 - (-627.63) \]
\[ = 3,452.50 + 627.63 \]
\[ = 4,080.13 \text{ руб.} \]
### Ответ:
Разница в суммах переплат по взятым ребятами кредитам составляет **4,080.13 руб.**
