У Дарьи есть два игральных кубика. Первый из них обыч-ный, а на гранях второго кубика числа 1, 5 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Дарья наудачу вы-брала…

Для решения этой задачи мы будем использовать теорию вероятностей, в частности, формулу условной вероятности. Давайте рассмотрим все шаги подробно.

Обозначения

1. Обозначим события:
   • \( A_1 \): Дарья выбрала первый кубик (обычный).
   • \( A_2 \): Дарья выбрала второй кубик (с гранями 1, 5, 6).
   • \( B \): Выпало 5 очков два раза подряд.

Шаг 1: Изначальные вероятности выбора кубика

Так как Дарья выбирает один из двух кубиков наугад, то:

• \( P(A_1) = \frac{1}{2} \)
• \( P(A_2) = \frac{1}{2} \)

Шаг 2: Вероятности события B для каждого кубика

Теперь найдем вероятность того, что событие \( B \) произошло (выпало два раза по 5) для каждого кубика:

• Для первого кубика (обычного):

  • Вероятность получить 5 при одном броске \( P(B|A_1) = \frac{1}{6} \).
  • Вероятность получить 5 дважды: \[ P(B | A_1) = P(5) \cdot P(5) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \]

• Для второго кубика (с гранями 1, 5, 6):

  • Вероятность получить 5 при одном броске \( P(B|A_2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
  • Вероятность получить 5 дважды: \[ P(B | A_2) = P(5) \cdot P(5) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \]

Шаг 3: Применение теоремы Байеса

Теперь нужно найти искомую вероятность \( P(A_1 | B) \) (вероятность того, что Дарья выбрала первый кубик, зная, что два раза выпало 5).

Согласно формуле Байеса: \[ P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} \]

Шаг 4: Находим вероятность \( P(B) \)

Сначала найдем \( P(B) \) с учетом обоих кубиков: \[ P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2) \] Подставим значения: \[ P(B) = \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{72} + \frac{1}{18} \]

Чтобы сложить дроби, найдем общий знаменатель: \[ \frac{1}{18} = \frac{4}{72} \] Таким образом: \[ P(B) = \frac{1}{72} + \frac{4}{72} = \frac{5}{72} \]

Шаг 5: Найдем \( P(A_1 | B) \)

Теперь можем вернуться к формуле Байеса: \[ P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} = \frac{\left( \frac{1}{36} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right)}{\frac{5}{72}} \] Упростим это выражение: \[ P(A_1 | B) = \frac{\frac{1}{72}}{\frac{5}{72}} = \frac{1}{5} \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что Дарья бросила первый кубик (обычный), равна \( \frac{1}{5} \) или 20%.