Для решения этой задачи мы будем использовать теорию вероятностей, в частности, формулу условной вероятности. Давайте рассмотрим все шаги подробно.
Обозначения
- Обозначим события:
- ( A_1 ): Дарья выбрала первый кубик (обычный).
- ( A_2 ): Дарья выбрала второй кубик (с гранями 1, 5, 6).
- ( B ): Выпало 5 очков два раза подряд.
Шаг 1: Изначальные вероятности выбора кубика
Так как Дарья выбирает один из двух кубиков наугад, то:
- ( P(A_1) = \frac{1}{2} )
- ( P(A_2) = \frac{1}{2} )
Шаг 2: Вероятности события B для каждого кубика
Теперь найдем вероятность того, что событие ( B ) произошло (выпало два раза по 5) для каждого кубика:
Для первого кубика (обычного):
- Вероятность получить 5 при одном броске ( P(B|A_1) = \frac{1}{6} ).
- Вероятность получить 5 дважды:
[
P(B | A_1) = P(5) \cdot P(5) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}
]
Для второго кубика (с гранями 1, 5, 6):
- Вероятность получить 5 при одном броске ( P(B|A_2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} ).
- Вероятность получить 5 дважды:
[
P(B | A_2) = P(5) \cdot P(5) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}
]
Шаг 3: Применение теоремы Байеса
Теперь нужно найти искомую вероятность ( P(A_1 | B) ) (вероятность того, что Дарья выбрала первый кубик, зная, что два раза выпало 5).
Согласно формуле Байеса:
[
P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)}
]
Шаг 4: Находим вероятность ( P(B) )
Сначала найдем ( P(B) ) с учетом обоих кубиков:
[
P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2)
]
Подставим значения:
[
P(B) = \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{72} + \frac{1}{18}
]
Чтобы сложить дроби, найдем общий знаменатель:
[
\frac{1}{18} = \frac{4}{72}
]
Таким образом:
[
P(B) = \frac{1}{72} + \frac{4}{72} = \frac{5}{72}
]
Шаг 5: Найдем ( P(A_1 | B) )
Теперь можем вернуться к формуле Байеса:
[
P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} = \frac{\left( \frac{1}{36} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right)}{\frac{5}{72}}
]
Упростим это выражение:
[
P(A_1 | B) = \frac{\frac{1}{72}}{\frac{5}{72}} = \frac{1}{5}
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что Дарья бросила первый кубик (обычный), равна ( \frac{1}{5} ) или 20%.
