1)Решение уравнение 2^1+х +2^1-х =5 2) найди его корни,принадлежащие отрезку [-3;0]
Давайте решим уравнение \( 2^{1+x} + 2^{1-x} = 5 \) и найдем его корни на отрезке \([-3;0]\).
Шаг 1: Перепишем уравнение
Мы можем начать с того, чтобы упростить выражение: \[ 2^{1+x} = 2 \cdot 2^x \] \[ 2^{1-x} = 2 \cdot 2^{-x} \]
Теперь подставим это в уравнение: \[ 2 \cdot 2^x + 2 \cdot 2^{-x} = 5 \]
Шаг 2: Упростим уравнение
Вынесем 2 за скобки: \[ 2(2^x + 2^{-x}) = 5 \]
Теперь разделим обе стороны на 2: \[ 2^x + 2^{-x} = \frac{5}{2} \]
Шаг 3: Введение новой переменной
Обозначим \( y = 2^x \). Тогда \( 2^{-x} = \frac{1}{y} \). Подставим это: \[ y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2} \]
Шаг 4: Умножим на \( y \)
Умножим обе стороны на \( y \) (предполагаем, что \( y > 0 \)): \[ y^2 + 1 = \frac{5}{2}y \]
Шаг 5: Приведем к квадратному уравнению
Перепишем уравнение: \[ 2y^2 - 5y + 2 = 0 \]
Шаг 6: Решим квадратное уравнение
Теперь найдем корни с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \]
Теперь считаем корни: \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
Шаг 7: Подставим обратно \( y \)
Теперь вспомним, что \( y = 2^x \):
Для \( y_1 = 2 \): \[ 2^x = 2 \] \[ x = 1 \]
Для \( y_2 = \frac{1}{2} \): \[ 2^x = \frac{1}{2} \] \[ x = -1 \]
Шаг 8: Найдем корни на отрезке \([-3;0]\)
Теперь проверим, какие из найденных корней принадлежат отрезку \([-3;0]\).
- Корень \( x = 1 \) не принадлежит этому отрезку.
- Корень \( x = -1 \) принадлежит отрезку \([-3;0]\).
Ответ
Корень уравнения \( 2^{1+x} + 2^{1-x} = 5 \), который принадлежит отрезку \([-3;0]\), равен \( x = -1 \).
