Определи площадь треугольника AРТ, если АT = 9 см, ZA = 45°, ZP = 70° (Все приближённые числа в расчётах округли до десятитысячных, ответ округли до сотых.) Sapt 2

Чтобы найти площадь треугольника \( APT \), нам необходимо использовать формулу для вычисления площади треугольника, основываясь на стороне и углах. Мы имеем следующие данные: - \( AT = 9 \) см, - Угол \( ZA = 45^\circ \), - Угол \( ZP = 70^\circ \). ### Шаг 1: Находим третий угол Сначала найдем угол \( AZP \) с помощью свойства суммы углов треугольника, которая равна \( 180^\circ \): \[ AZP = 180^\circ - (ZA + ZP) = 180^\circ - (45^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ. \] ### Шаг 2: Используем формулу площади Площадь треугольника можно вычислить с помощью формулы: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C), \] где: - \( a \) и \( b \) – стороны, образующие угол \( C \), - \( C \) – угол между этими сторонами. Мы знаем одну сторону \( a = AT = 9 \) см и угол \( C = AZP = 65^\circ \). Нам нужно найти сторону \( AP \) (обозначим её как \( c \)). ### Шаг 3: Находим другую сторону Чтобы применить формулу, нам необходимо использовать закон синусов. Он гласит: \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}, \] где: - \( A = ZP = 70^\circ \), - \( B = ZA = 45^\circ \). Мы можем найти сторону \( AP \) через сторону \( AT \): \[ \frac{AT}{\sin(ZP)} = \frac{AP}{\sin(AZP)}. \] Подставим данные: \[ \frac{9}{\sin(70^\circ)} = \frac{AP}{\sin(65^\circ)}. \] Теперь выразим \( AP \): \[ AP = 9 \cdot \frac{\sin(65^\circ)}{\sin(70^\circ)}. \] ### Шаг 4: Вычисляем синусы Теперь, используя калькулятор, найдем: \[ \sin(70^\circ) \approx 0.9397, \] \[ \sin(65^\circ) \approx 0.9063. \] Теперь подставим эти значения: \[ AP \approx 9 \cdot \frac{0.9063}{0.9397} \approx 9 \cdot 0.9645 \approx 8.6805 \text{ см}. \] ### Шаг 5: Находим площадь треугольника Теперь мы можем найти площадь: \[ S_{APT} = \frac{1}{2} \cdot AT \cdot AP \cdot \sin(AZP) = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8.6805 \cdot \sin(65^\circ). \] Подставляем \( \sin(65^\circ) \): \[ S_{APT} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8.6805 \cdot 0.9063. \] Выполним расчёты: \[ S_{APT} \approx \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8.6805 \cdot 0.9063 \approx \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 7.8652 \approx 35.2508. \] ### Ответ Округляем площадь до сотых: \[ S_{APT} \approx 35.25 \text{ см}^2. \] Таким образом, площадь треугольника \( APT \) составляет \( 35.25 \) квадратных сантиметров.