Определи площадь треугольника AРТ, если АT = 9 см, ZA = 45°, ZP = 70° (Все приближённые числа в расчётах округли до десятитысячных, ответ округли до сотых.) Sapt 2

Чтобы найти площадь треугольника \( APT \), нам необходимо использовать формулу для вычисления площади треугольника, основываясь на стороне и углах. Мы имеем следующие данные:

• \( AT = 9 \) см,
• Угол \( ZA = 45^\circ \),
• Угол \( ZP = 70^\circ \).

Шаг 1: Находим третий угол

Сначала найдем угол \( AZP \) с помощью свойства суммы углов треугольника, которая равна \( 180^\circ \):

\[ AZP = 180^\circ - (ZA + ZP) = 180^\circ - (45^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ. \]

Шаг 2: Используем формулу площади

Площадь треугольника можно вычислить с помощью формулы:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C), \]

где:

• \( a \) и \( b \) – стороны, образующие угол \( C \),
• \( C \) – угол между этими сторонами.

Мы знаем одну сторону \( a = AT = 9 \) см и угол \( C = AZP = 65^\circ \). Нам нужно найти сторону \( AP \) (обозначим её как \( c \)).

Шаг 3: Находим другую сторону

Чтобы применить формулу, нам необходимо использовать закон синусов. Он гласит:

\[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}, \]

где:

• \( A = ZP = 70^\circ \),
• \( B = ZA = 45^\circ \).

Мы можем найти сторону \( AP \) через сторону \( AT \):

\[ \frac{AT}{\sin(ZP)} = \frac{AP}{\sin(AZP)}. \]

Подставим данные:

\[ \frac{9}{\sin(70^\circ)} = \frac{AP}{\sin(65^\circ)}. \]

Теперь выразим \( AP \):

\[ AP = 9 \cdot \frac{\sin(65^\circ)}{\sin(70^\circ)}. \]

Шаг 4: Вычисляем синусы

Теперь, используя калькулятор, найдем:

\[ \sin(70^\circ) \approx 0.9397, \] \[ \sin(65^\circ) \approx 0.9063. \]

Теперь подставим эти значения:

\[ AP \approx 9 \cdot \frac{0.9063}{0.9397} \approx 9 \cdot 0.9645 \approx 8.6805 \text{ см}. \]

Шаг 5: Находим площадь треугольника

Теперь мы можем найти площадь:

\[ S_{APT} = \frac{1}{2} \cdot AT \cdot AP \cdot \sin(AZP) = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8.6805 \cdot \sin(65^\circ). \]

Подставляем \( \sin(65^\circ) \):

\[ S_{APT} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8.6805 \cdot 0.9063. \]

Выполним расчёты:

\[ S_{APT} \approx \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8.6805 \cdot 0.9063 \approx \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 7.8652 \approx 35.2508. \]

Ответ

Округляем площадь до сотых:

\[ S_{APT} \approx 35.25 \text{ см}^2. \]

Таким образом, площадь треугольника \( APT \) составляет \( 35.25 \) квадратных сантиметров.