Давайте решим задачу пошагово. Нам нужно найти два натуральных числа, произведение которых равно 180, и одно из которых больше другого на 3.
Шаг 1: Определим переменные
Обозначим одно из чисел как ( x ). Тогда другое число можно выразить через ( x ):
[
y = x + 3
]
где ( y ) — это большее число.
Шаг 2: Запишем условие задачи
Согласно условию, произведение двух чисел равно 180. Мы можем записать это как:
[
x \cdot y = 180
]
Теперь подставим выражение для ( y ):
[
x \cdot (x + 3) = 180
]
Шаг 3: Раскроем скобки
Распишем уравнение:
[
x^2 + 3x = 180
]
Шаг 4: Переносим все в одну сторону
Чтобы решить уравнение, перенесем 180 в левую часть:
[
x^2 + 3x - 180 = 0
]
Шаг 5: Решаем квадратное уравнение
Теперь попробуем решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = 3 ), ( c = -180 ).
Шаг 6: Найдем дискриминант
Сначала найдем дискриминант (( D )):
[
D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729
]
Шаг 7: Находим корни
Теперь подставим в формулу:
[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{729}}{2 \cdot 1}
]
Так как ( \sqrt{729} = 27 ):
[
x = \frac{-3 \pm 27}{2}
]
Это дает два случая:
- ( x = \frac{24}{2} = 12 )
- ( x = \frac{-30}{2} = -15 ) (не рассматриваем, так как числа натуральные)
Шаг 8: Находим второе число
Теперь, когда мы нашли ( x = 12 ), находим ( y ):
[
y = x + 3 = 12 + 3 = 15
]
Шаг 9: Проверка
Проверим, действительно ли произведение этих чисел равно 180:
[
12 \cdot 15 = 180
]
Ответ
Таким образом, искомые числа: ( 12 ) и ( 15 ).
