1. Правильную игральную кость бросают дважды. Известно, что произведение выпавших очков чётно. Найдите вероятность события: а) «при одном из бросков выпало 5 очков»; б) «в сумме…

Чтобы понять задачу, давайте шаг за шагом рассмотрим, что происходит при броске двух игральных костей и как вычисляется вероятность различных событий.

Шаг 1: Определение всех возможных исходов

Когда мы бросаем две игральные кости, каждая из которых имеет 6 граней, общее количество возможных исходов равно: \[ 6 \times 6 = 36 \] Этот результат получается, потому что на первой кости может выпасть 6 вариантов, а на второй кости — также 6 вариантов.

Шаг 2: Условия задачи

Из условия нам известно, что произведение выпавших очков четно. Произведение двух чисел чётно, если хотя бы одно из них чётное. На игральной кости чётные числа: 2, 4, 6, а нечётные — 1, 3, 5. Чётные числа займут 18 из 36 возможных исходов, так как:

• Если первая кость чётная (3 варианта: 2, 4, 6) и вторая — любое (6 вариантов): \(3 \times 6 = 18\)
• Если первая кость нечётная (3 варианта: 1, 3, 5) и вторая чётная (3 варианта): \(3 \times 3 = 9\)

Общее количество благоприятных исходов для произведения, которое будет чётным, составляет \(18 + 9 = 27\).

Шаг 3: Возможные события

Теперь мы можем рассмотреть поставленные подзадачи.

Подзадача (а): «при одном из бросков выпало 5 очков»

Чтобы найти вероятность, что при одном из бросков выпало 5 очков, найдем все исходы, где хотя бы одну из костей показывает 5.

Исходы, при которых:

1. Первая кость — 5:

   • Вторая кость может быть любой: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (6 вариантов).

2. Вторая кость — 5 (первая кость может быть любой, кроме 5):

   • Первая кость может быть 1, 2, 3, 4, 6 (5 вариантов).

Общее количество благоприятных исходов: \(6 + 5 = 11\).

Таким образом, проверим, чтобы произведение было четным:

• Из 11 благоприятных результатов мы исключим те, где обе кости нечётные, а именно, (5, 1), (5, 3) и (1, 5), (3, 5), которые все дают 5 нечётных чисел. Из этих 4 комбинаций нам нужно оставить только те, где хотя бы одно из этих чисел является чётным:
• Чётные комбинации: (5, 2), (5, 4), (5, 6), (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (6, 5) (всего 7).

Таким образом, вероятность будет: \[ P(A) = \frac{7}{27} \]

Подзадача (б): «в сумме выпало больше 2, но меньше 7 очков»

Исходы, где сумма больше 2 и меньше 7:

• Возможные суммы: 3, 4, 5, 6.

Условия:

• Сумма 3: (1, 2), (2, 1) — 2 исхода.
• Сумма 4: (1, 3), (3, 1), (2, 2) — 3 исхода.
• Сумма 5: (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) — 4 исхода.
• Сумма 6: (1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3) — 5 исходов.

Общее количество подходящих исходов: \[ 2 (сумма\ 3) + 3 (сумма\ 4) + 4 (сумма\ 5) + 5 (сумма\ 6) = 14 \]

Чтобы найти благоприятные исходы с четным произведением:

• Вам следует проверить все эти комбинации и избавиться от тех, у кого произведение нечётное. К сожалению, 6 оба нечётные (то есть все комбинации с содержащим нечётные числа).

Таким образом, вероятность будет: \[ P(B) = \frac{14 \text{ (всего исходов)}}{27 \text{ (всего четных исходов)}} = \frac{14}{27} \]

Заключение

Ответы:

• а) Вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков — \(P(A) = \frac{7}{27}\).
• б) Вероятность того, что в сумме выпало больше 2, но меньше 7 очков — \(P(B) = \frac{14}{27}\).