ABCD - прямоугольник с периметром, равным 42 см, у которого BD = 15 см. найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ADC

Чтобы решить эту задачу, давайте разберем ее шаг за шагом.

Дано:

• Прямоугольник ABCD с периметром 42 см
• Диагональ BD = 15 см

Шаг 1: Находим стороны прямоугольника

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: \[ P = 2(a + b) \] где \( a \) и \( b \) — длины сторон прямоугольника.

Поскольку периметр равен 42 см, имеем: \[ 2(a + b) = 42 \] \[ a + b = 21 \quad (1) \]

Шаг 2: Используем диагональ

В прямоугольнике диагональ можно найти с помощью теоремы Пифагора: \[ BD^2 = AB^2 + AD^2 \] где \( AB = a \) и \( AD = b \). Диагональ BD = 15 см, поэтому: \[ 15^2 = a^2 + b^2 \] \[ 225 = a^2 + b^2 \quad (2) \]

Шаг 3: Решим систему уравнений

Теперь у нас есть две уравнения (1) и (2):

1. \( a + b = 21 \)
2. \( a^2 + b^2 = 225 \)

Из уравнения (1) выразим \( b \): \[ b = 21 - a \]

Подставим \( b \) во второе уравнение (2): \[ a^2 + (21 - a)^2 = 225 \]

Раскроем скобки: \[ a^2 + (441 - 42a + a^2) = 225 \] \[ 2a^2 - 42a + 441 - 225 = 0 \] \[ 2a^2 - 42a + 216 = 0 \]

Шаг 4: Упростим уравнение

Разделим все коэффициенты на 2: \[ a^2 - 21a + 108 = 0 \]

Шаг 5: Найдем корни

Используем дискриминант для нахождения корней уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 108 = 441 - 432 = 9 \] Теперь находим корни: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 \pm 3}{2} \]

Корни:

1. \( a_1 = \frac{24}{2} = 12 \)
2. \( a_2 = \frac{18}{2} = 9 \)

Следовательно:

• Если \( a = 12 \), тогда \( b = 21 - 12 = 9 \)
• Если \( a = 9 \), тогда \( b = 21 - 9 = 12 \)

Таким образом, стороны прямоугольника ABCD равны 12 см и 9 см.

Шаг 6: Находим радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности треугольника можно найти по формуле: \[ r = \frac{S}{p} \] где \( S \) — площадь треугольника, \( p \) — полупериметр.

Теперь найдем площадь треугольника ADC. Формула для площади треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54 \text{ см}^2 \]

Теперь найдем полупериметр треугольника ADC: \[ p = \frac{AD + DC + AC}{2} = \frac{9 + 12 + 15}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см} \]

Шаг 7: Находим радиус

Теперь подставим \( S \) и \( p \) в формулу для радиуса: \[ r = \frac{54}{18} = 3 \text{ см} \]

Ответ

Радиус окружности, вписанной в треугольник ADC, равен \( 3 \) см.