представьте в виде обыкновенной дроби число а)0,(5);б)1,(72);в)0,4(6);г)0,01(12)

Чтобы представить числа в виде обыкновенной дроби, необходимо действовать по-разному в зависимости от свойства числа (например, конечная десятичная дробь или периодическая).

Давайте разберем каждое из заданных чисел.

а) 0,(5)

Это периодическая дробь, где 5 периодически повторяется.

1. Обозначим \( x = 0,555...\).
2. Умножим обе стороны на 10: \( 10x = 5,555...\).
3. Выразим \( x \) из уравнения: \[ 10x - x = 5,555... - 0,555... \] \[ 9x = 5 \]
4. Разделим обе стороны на 9: \[ x = \frac{5}{9} \]

Таким образом, \( 0,(5) = \frac{5}{9} \).

б) 1,(72)

Также периодическая дробь. Период - «72».

1. Обозначим \( y = 1,727272...\).
2. Умножим на 100, чтобы избавиться от периода: \( 100y = 172,727272...\).
3. Теперь вычтем \( y \) из \( 100y \): \[ 100y - y = 172,727272... - 1,727272... \] \[ 99y = 171 \]
4. Делим обе стороны на 99: \[ y = \frac{171}{99} \]
5. Упростим дробь: \[ y = \frac{19}{11} \quad \text{(сокращая на 9)} \]

Итак, \( 1,(72) = \frac{19}{11} \).

в) 0,4(6)

Здесь период - «6».

1. Обозначим \( z = 0,46666...\).
2. Умножим на 10, чтобы выделить целую часть: \( 10z = 4,666...\).
3. Вычтем \( z \): \[ 10z - z = 4,666... - 0,46666... \] \[ 9z = 4,2 \]
4. Преобразуем 4,2 в дробь: \( 4,2 = \frac{42}{10} = \frac{21}{5} \).
5. Теперь: \[ 9z = \frac{21}{5} \] \[ z = \frac{21}{45} \]
6. Упростим дробь: \[ z = \frac{7}{15} \quad \text{(сокращая на 3)} \]

Итак, \( 0,4(6) = \frac{7}{15} \).

г) 0,01(12)

Это периодическая дробь, где период «12».

1. Обозначим \( w = 0,011212121...\).
2. Умножим на 1000, чтобы выделить период: \( 1000w = 11,212121...\).
3. Умножим на 10 для возможности вычитания: \( 10w = 0,112121...\).
4. Теперь вычтем: \[ 1000w - 10w = 11,212121... - 0,112121... \] \[ 990w = 11,1 \]
5. Преобразуем 11,1 в дробь: \( 11,1 = \frac{111}{10} \).
6. Таким образом,: \[ 990w = \frac{111}{10} \] \[ w = \frac{111}{9900} \]
7. Упростим дробь: \[ w = \frac{37}{330} \quad \text{(сокращая на 3)} \]

Итак, \( 0,01(12) = \frac{37}{330} \).

Итоги

• а) \( 0,(5) = \frac{5}{9} \)
• б) \( 1,(72) = \frac{19}{11} \)
• в) \( 0,4(6) = \frac{7}{15} \)
• г) \( 0,01(12) = \frac{37}{330} \)